Šredingerova jednačina

Čestica je opisana u prostoru kao talas. Stanje takve čestice opisuje se talasnom funkcijom koja se dobija rešavanjem Šredingerove jednačine. Ovu jednačinu je formulisao 1925. godine, i objavio 1926, austrijski fizičar Ervin Šredinger. Rešavanje Šredingerove jednačine vrši se preko ukupne energije koja se izražava preko kinetičke koja je izražena preko impulsa i potencijalne energije. Opisana je kvantnomehaničkim Hamiltonijanovim operatorom energije. Šredingerova jednačina opisuje kretanje čestica u potencijalu V(x,y,z) kroz vreme.

U klasičnoj mehanici, jednačina kretanja je Njutnov drugi zakon, a ekvivalentne formulacije su Ojler–Lagranžove jednačine i Hamiltonove jednačine. Sve ove formulacije se koriste za rešavanje kretanja mehaničkog sistema i matematičko predviđanje stanja sistema u datom vremenu nakon inicijalnog stanja i konfiguracije sistema.

U kvantnoj mehanici, po analogiji sa Njutnovim zakonima je Šredingerova jednačina za kvantni sistem (obično atome, molekule, i subatomske čestice bilo slobodne, vezane, ili lokalizovane). Ona nije jednostavna algebarska jednačina, nego (opšta) linearna parcijalna diferencijalna jednačina. Diferencijalna jednačina opisuje talasnu funkciju sistema, koja se takođe naziva kvantno stanje ili vektor stanja.

U standardnoj interpretaciji kvantne mehanike, talasna funkcija je najkompletniji opis fizičkog sistema. Rešenja Šredingerove jednačine opisuju ne samo molekulske, atomske, i subatomske sisteme, nego i makroskopske sisteme, možda čak i ceo svemir.

Poput Njutnovog drugog zakona, Šredingerova jednačina se može matematički transformisati u druge formulacije poput Verner Hajzenbergove matrične mehanike, i Fejnmanove integralne formulacije putanja. Isto tako poput Njutnovog drugog zakona, Šredingerova jednačina opisuje vreme na način koji je nepodesan za relativističke teorije, mada je taj problem manje izražen u matričnoj mehanici i potpuno odsutan u integralnoj formulaciji putanja. Jednačina je izvedena putem parcijalnog diferenciranja standardne talasne jednačine i supstituisanja relacije između momenta čestice i talasne dužine talasa asociranog sa česticom u De Brojevoj hipotezi.

Jednačina

Vremenski zavisna jednačina

Forma Šredingerove jednačine zavisi od fizičke situacije. Najopštija forma je vremenski zavisna Šredingerova jednačina, koja opisuje promene sistema u funkciji vremena:

Vremenski zavisna Šredingerova jednačina (opšta) $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=\hat{H}\mathrm{\Psi }$

gde je i imaginarna jedinica, ħ je redukovana Plankova konstanta, Ψ je talasna funkcija kvantnog sistema, i $\hat{H}$ je Hamiltonov operator (koji karakteriše totalnu energiju svake date talasne funkcije i poprima različite forme u zavisnosti od situacije).

Talasna funkcija koja zadovoljava nerelativističku Šredingerovu jednačinu sa V=0. Drugim rečima, ona odgovara čestici koja se slobodno kreće kroz prazan prostor. Realni deo talasne funkcije je prikazan.

Najpoznatiji primer je nerelativistička Šredingerova jednačina za jednu česticu, koja se kreće u električnom polju (ali ne u magnetnom polju; c.f. Paulijeva jednačina):

Vremenski zavisna Šredingerova jednačina (jedna nerelativistička čestica) $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=[\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(𝐫,t)]\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$

gde je m masa čestice, V je njena potencijalna energija, ∇² je Laplasijan, i Ψ je talasna funkcija (preciznije, u ovom kontekstu, ona se naziva "poziciono prostorna talasna funkcija"). Totalna energija jednaka zbiru kinetičke i potencijalne energije", mada sabirci poprimaju neuobičajene forme.

Pošto su specifični diferencijalni operatori zastupljeni, ovo je linearna parcijalna diferencijalna jednačina. Ona je takođe difuziona jednačina.

Termin "Šredingerova jednačina" se može odnositi na opštu jednačinu (prva kutija gore), ili na specifičnu nerelativističku verziju (drugi kutija gore i njene varijante). Opšta jednačina je veoma uopštena. Ona nalazi primenu širom kvantne mehanike, za sve od Dirakove jednačine do kvantne teorije polja, putem upotrebe raznih kompleksnih izraza za Hamiltonijan. Specifična nerelativistička verzija je pojednostavljena aproksimacija relativističke. Ona je sasvim precizna u mnogim situacijama, mada postoje slučajevi gde je veoma neprecizna.

Pri primeni Šredingerove jednačine, Hamiltonov operator se definiše za dati sistem, tako da obuhvata kinetičku i potencijalnu energiju čestica sadržanih sistemom, i zatim se unosi u Šredingerovu jednačinu. Rezultujuća parcijalna diferencijalna jednačina se rešava za talasnu funkciju, koja sadrži informacije o sistemu.

Literatura

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Richard Feynman, . Шаблон:Cite book. Four elementary lectures on quantum electrodynamics and quantum field theory, yet containing many insights for the expert.
• Ghirardi, GianCarlo, 2004. Sneaking a Look at God's Cards, Gerald Malsbary, trans. Princeton University Press. The most technical of the works cited here. Passages using algebra, trigonometry, and bra–ket notation can be passed over on a first reading.
• N. David Mermin, , "Spooky actions at a distance: mysteries of the QT" in his Шаблон:Cite book. 110–76.
• Шаблон:Cite book. Chpts. 5–8. Includes cosmological and philosophical considerations.

More technical:

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Bryce DeWitt, R. Neill Graham, eds., . Шаблон:Cite book. Princeton University Press.
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• D. Greenberger, K. Hentschel, F. Weinert, eds., 2009. Compendium of quantum physics, Concepts, experiments, history and philosophy, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg.
• Max Jammer, 1966. The Conceptual Development of Quantum Mechanics. McGraw Hill.
• Hagen Kleinert, 2004. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 3rd ed. Singapore: World Scientific. Draft of 4th edition.
• Шаблон:Cite book. Online copy
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G.M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons. Cf. chpt. IV, section III. online
• Шаблон:Cite book
• Scerri, Eric R., . Шаблон:Cite book. Considers the extent to which chemistry and the periodic system have been reduced to quantum mechanics.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Veltman, Martinus J.G. (2003), Facts and Mysteries in Elementary Particle Physics.

Spoljašnje veze

• Шаблон:Springer
• -{Quantum Physics Шаблон:Wayback – textbook with a treatment of the time-independent Schrödinger equation}-
• -{Linear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.}-
• -{Nonlinear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.}-
• -{The Schrödinger Equation in One Dimension}-
• J. O'Connor and E. F. Robertson: A history of quantum mechanics.
• Introduction to Quantum Theory at Quantiki.
• Quantum Physics Made Relatively Simple: three video lectures by Hans Bethe