Петоугао

Шаблон:Инфокутија многоугао

У геометрији, петоугао (одe грчког πέντε -{pente}- са значењем пет и γωνία -{gonia}- са значењем угао^[1]) многоугао је са пет темена и пет страница. Сума унутрашњих углова једноставног петоугла је 540°.

Правилни петоугао

Правилни петоугао је петоугао код кога су све странице једнаке дужине и сви унутрашњи углови једнаки. Сваки унутрашњи угао правилног петоугла има по 108° (степени), а збир свих унутрашњих углова било ког петоугла износи 540°. Ако му је основна страница дужине $a$ , површина правилног петоугла се одређује формулом $P = \frac{5 a^{2}}{4} c t g \frac{π}{5} = \frac{a^{2}}{4} \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}} \approx 1.72048 a^{2}$ .

Површина се може израчунати и са
$P = \frac{5}{2} R^{2} \sin \frac{2 π}{5} = 5 r^{2} t g \frac{π}{5}$
где је $R$ - полупречник описаног круга, а $r$ - полупречник уписаног круга. Обим петоугла коме је страница дужине $a$ биће једнак $5 a$ . Однос дијагонале и странице петоугла једнак је $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ , што одговара златном пресеку.

Правилан петоугао има пет линија рефлексијске симетрије, и ротациону симетрију реда 5 (кроз 72°, 144°, 216° и 288°). Дијагонале конвексног правилног петоугла су у златном пресеку према његовим страницама. Његова висина (удаљеност од једне стране до супротног врха) и ширина (удаљеност између две најудаљеније раздвојене тачке, која је једнака дужини дијагонале) су дате као

Висина = \frac{\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{2} \cdot Side \approx 1.539 \cdot стране,

Ширина = Diagonal = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot стране \approx 1.618 \cdot стране,

Ширина = \sqrt{2 - \frac{2}{\sqrt{5}}} \cdot висине \approx 1.051 \cdot висине,

Дијагонала = R \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} = 2 R \cos 1 8^{\circ} = 2 R \cos \frac{π}{10} \approx 1.902 R,

где је -{R}- полупречник описаног круга.

Површина конвексног правилног петоугла са дужином странице -{t}- је дата са

A = \frac{t^{2} \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}}{4} = \frac{5 t^{2} \tan (5 4^{\circ})}{4} = \frac{\sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})} t^{2}}{4} \approx 1.720 t^{2} .

Када је правилан петоугао описан кругом полупречника -{R}-, његова дужина ивице -{t}- је дата изразом

t = R \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}} = 2 R \sin 3 6^{\circ} = 2 R \sin \frac{π}{5} \approx 1.176 R,

а његова површина је

A = \frac{5 R^{2}}{4} \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}};

пошто је површина описаног круга $π R^{2},$ правилни пентагон испуњава приближно 0,7568 свог описаног круга.

Извођење формуле површине

Површина било ког правилног полигона је:

A = \frac{1}{2} P r

где је -{P}- обим полигона, а -{r}- полупречник (еквивалентно апотема). Замена вредности регуларног пентагона за -{P}- и -{r}- даје формулу

A = \frac{1}{2} \cdot 5 t \cdot \frac{t \tan (\frac{3 π}{10})}{2} = \frac{5 t^{2} \tan (\frac{3 π}{10})}{4}

са дужином странице -{t}-.

Интрарадијус

Слично сваком правилном конвексном полигону, правилан конвексни петоугао има уписан круг. Апотема, која је полупречник r уписаног круга, правилног петоугла је повезана са дужином странице t помоћу

r = \frac{t}{2 \tan (π / 5)} = \frac{t}{2 \sqrt{5 - \sqrt{20}}} \approx 0.6882 \cdot t .

Тетиве од описаног круга до врхова

Као и сваки правилан конвексни многоугао, правилни конвексни петоугао има описан круг. За правилан петоугао са узастопним врховима -{A, B, C, D, E,}- ако је -{P}- било која тачка на описаној кружници између тачака -{B}- и -{C}-, онда је -{PA + PD = PB + PC + PE}-.

Тачка у равни

За произвољну тачку у равни правилног петоугла са полупречником круга $R$ , чија су растојања до тежишта правилног пентагона и његових пет врхова $L$ и $d_{i}$ респективно, важи^[2]

\sum_{i = 1}^{5} d_{i}^{2} = 5 (R^{2} + L^{2}),

\sum_{i = 1}^{5} d_{i}^{4} = 5 ((R^{2} + L^{2})^{2} + 2 R^{2} L^{2}),

\sum_{i = 1}^{5} d_{i}^{6} = 5 ((R^{2} + L^{2})^{3} + 6 R^{2} L^{2} (R^{2} + L^{2})),

\sum_{i = 1}^{5} d_{i}^{8} = 5 ((R^{2} + L^{2})^{4} + 12 R^{2} L^{2} (R^{2} + L^{2})^{2} + 6 R^{4} L^{4}) .

Ако су $d_{i}$ растојања од врхова правилног петоугла до било које тачке на његовој описаној кружници, онда је^[2]

3 (\sum_{i = 1}^{5} d_{i}^{2})^{2} = 10 \sum_{i = 1}^{5} d_{i}^{4} .

Конструкција

Правилни петоугао се може конструисати уз помоћ лењира и шестара. Следећа анимација илуструје корак по корак, једну од могућих конструкција.

Анимирани приказ конструкције петоугла помоћу шестара и лењира

Еуклидов метод

Правилан петоугао се може конструисати помоћу шестара и лењира, било уписивањем у дати круг, или конструисањем на датој ивици. Овај процес је описао Еуклид у својим Елементима око 300. године п. н. е.^[3]^[4]

Галерија

Зграда Пентагона у којој је смештено Министарство одбране САД има облик правилног петоугла.
Државна ознака за квалитет коришћена у некадашњем Совјетском Савезу имала је модификовани петоугао у својој основи.
Петоугао се може добити везивањем папирне траке у чвор.

Види још

Додекаедар

Референце

Шаблон:Reflist

Литература

Шаблон:Литература

Шаблон:Литература крај

Спољашње везе

Шаблон:Commonscat

Петоугао на -{Mathworld}- Шаблон:En
Дефиниција и особине петоугла, са интерактивном анимацијом Шаблон:En
-{Raul A. Simon}-, Шаблон:Cite web Шаблон:En
Animated demonstration constructing an inscribed pentagon with compass and straightedge.
Шаблон:Cite web with only a compass and straightedge.
Шаблон:Cite web using only a strip of paper
Шаблон:Cite web
Pentagon. How to calculate various dimensions of regular pentagons.

Шаблон:Многоуглови Шаблон:Нормативна контрола

↑ "pentagon, adj. and n." OED Online. Oxford University Press, June 2014. Web. 17 August 2014.
↑ ^2,0 ^2,1 Шаблон:Cite journal
↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Cite book

[1] "pentagon, adj. and n." OED Online. Oxford University Press, June 2014. Web. 17 August 2014.

[Mamuka-2] 2,0 ^2,1 Шаблон:Cite journal

[Martin-3] Шаблон:Cite book

[Fitzpatrick-4] Шаблон:Cite book

[1]

[2]

[3]

[4]

Петоугао

Садржај