Орбитални елементи

Свака орбита је одређена орбиталним елементима или параметрима који тачно описују орбиту, као и положај тела на њој.^[1] Орбиталних елемената има шест и они су: ексцентрицитет, велика полуоса, инклинација, лонгитуда узлазног чвора, аргумент перихела, Апоцентар и перицентар, и права аномалија.

Кеплерови елементи Шаблон:Anchor

У овом дијаграму, орбитална раван (жута) сече референтну раван (сива). За сателите који круже око Земље, референтна раван је обично Земљина екваторијална раван, а за сателите у орбитама Сунца то је раван еклиптике. Пресек се назива линија чворова, јер повезује центар масе са узлазним и силажним чворовима. Референтна раван, заједно са тачком равнодневице (♈︎), успоставља референтни оквир.

Традиционални орбитални елементи су шест Кеплерових елемената, по Јоханесу Кеплеру и његовим законима планетарног кретања.

Када се посматрају из инерцијалног оквира, два тела у орбити оцртавају различите путање. Свака од ових путања има фокус у заједничком центру масе. Када се посматра из неинерцијалног оквира усредсређеног на једно од тела, видљива је само путања супротног тела; Кеплерови елементи описују ове неинерцијалне путање. Орбита има два скупа Кеплерових елемената у зависности од тога које тело се користи као референтна тачка. Референтно тело (обично најмасовније) назива се примарно, друго тело се назива секундарно. Примарни не мора нужно да поседује већу масу од секундарног, а чак и када су тела једнаке масе, орбитални елементи зависе од избора примарног.

Два елемента дефинишу облик и величину елипсе:

Ексцентрицитет (Шаблон:Mvar) — облик елипсе, који описује колико је издужена у односу на круг (није означено на дијаграму).
Велика полуоса (Шаблон:Mvar) — збир растојања периапсе и апоапсе подељен са два. За класичне орбите са два тела, велика полуоса је растојање између центара тела, а не растојање тела од центра масе.

Два елемента дефинишу оријентацију орбиталне равни у коју је уграђена елипса:

Инклинација (Шаблон:Mvar) — вертикални нагиб елипсе у односу на референтну раван, мерено у узлазном чвору (где орбита пролази нагоре кроз референтну раван, зелени угао Шаблон:Mvar на дијаграму). Угао нагиба се мери нормално на линију пресека између орбиталне и референтне равни. Било које три тачке на елипси ће дефинисати орбиталну раван елипсе. Раван и елипса су дводимензионални објекти дефинисани у тродимензионалном простору.
Географска дужина узлазног чвора (Шаблон:Math) — хоризонтално оријентише узлазни чвор елипсе (где орбита пролази нагоре кроз референтну раван, симболизовану са Шаблон:Math) у односу на тачку равнодневнице референтног оквира (симболизовану са ♈︎). Ово се мери у референтној равни и приказано је као зелени угао Шаблон:Math на дијаграму.

Преостала два елемента су:

Аргумент перихела (ω) дефинише оријентацију елипсе у орбиталној равни, као угао мерен од узлазног чвора до перихела (најближа тачка када сателитски објекат долази до примарног објекта око којег кружи, плави угао Шаблон:Mvar у дијаграм).
Права аномалија (Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, или Шаблон:Mvar) у епохи (Шаблон:Math) дефинише положај тела у орбити дуж елипсе у одређено време („епоха“).

Обавезни параметри

С обзиром на инерцијални референтни оквир и произвољну епоху (одређену временску тачку), потребно је тачно шест параметара да се недвосмислено дефинише произвољна и непоремећена орбита.

То је зато што проблем садржи шест степени слободе. Оне одговарају трима просторним димензијама које дефинишу позицију (Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar у Декартовом координатном систему), плус брзину у свакој од ових димензија. Они се могу описати као вектори орбиталног стања, али ово је често незгодан начин за представљање орбите, због чега се уместо њих обично користе Кеплерови елементи.

Понекад се епоха сматра „седмим“ орбиталним параметром, а не делом референтног оквира.

Ако је епоха дефинисана у тренутку када је један од елемената нула, број неодређених елемената се смањује на пет. (Шести параметар је и даље неопходан за дефинисање орбите; он је само нумерички постављен на нулу по конвенцији или се „премешта“ у дефиницију епохе у односу на време у стварном свету.)

Алтернативне параметризације

Кеплерови елементи се могу добити из орбиталних вектора стања (тродимензионални вектор за позицију и други за брзину) ручним трансформацијама или помоћу компјутерског софтвера.^[2]

Други параметри орбите могу се израчунати из Кеплерових елемената као што су период, апсида и перихел. (Када круже око Земље, последња два појма су позната као апогеј и перигеј.) Уобичајено је да се наведе период уместо велике полуосе у скуповима Кеплерових елемената, пошто се сваки може израчунати из другог за дати стандардни гравитациони параметар, Шаблон:Mvar, је дат за централно тело.

Уместо средње аномалије у епохи, може се користити средња аномалија Шаблон:Mvar, средња географска дужина, права аномалија Шаблон:Math или (ретко) ексцентрична аномалија.

Коришћење, на пример, „средње аномалије“ уместо „средње аномалије у епохи“ значи да време Шаблон:Mvar мора бити наведено као седми орбитални елемент. Понекад се претпоставља да је средња аномалија нула у епохи (одабиром одговарајуће дефиниције епохе), остављајући само пет других орбиталних елемената да буду специфицирани.

За разна астрономска тела користе се различити скупови елемената. Ексцентрицитет, Шаблон:Mvar, и велика полуоса, Шаблон:Mvar, или растојање периапсе, Шаблон:Mvar, користе се за одређивање облика и величине орбите. Географска дужина узлазног чвора, Шаблон:Math, инклинација, Шаблон:Mvar, и аргумент периапсе, Шаблон:Mvar, или географска дужина периапсе, Шаблон:Mvar, одређују оријентацију орбите у њеној равни. Географска дужина у епохи, Шаблон:Math, средња аномалија у епохи, Шаблон:Math, или време проласка перихела, Шаблон:Math, користе се за спецификацију познате тачке у орбити. Избори зависе од тога да ли се пролећна равнодневица или чвор користи као примарна референца. Велика полуоса је позната ако су познате средње кретање и гравитациона маса.^[3]^[4]

Такође је прилично уобичајено видети или средњу аномалију (Шаблон:Mvar) или средњу географску дужину (Шаблон:Mvar) изражену директно, без Шаблон:Math или Шаблон:Math као међукорака, као полиномску функцију у односу на време. Овај метод изражавања ће консолидовати средње кретање (Шаблон:Mvar) у полином као један од коефицијената. Изгледаће да су Шаблон:Mvar или Шаблон:Mvar изражени на сложенији начин, али ће се чинити да је потребан један орбитални елемент мање.

Средње кретање такође може бити скривено иза цитата орбиталног периода Шаблон:Mvar.

Скупови орбиталних елемената
Објекат	Употребљени елементи
Главна планета	Шаблон:Math
Комета	Шаблон:Math
Астероид	Шаблон:Math
Двоправни елементи	Шаблон:Math

Трансформације Ојлеровог угла

Углови Шаблон:Math, Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar су Ојлерови углови (који одговарају Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar у ознакама коришћеним у том чланку) који карактеришу оријентацију координатног система

Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math из инерцијалног координатног оквира Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math

где:

Шаблон:Math, Шаблон:Math се налази у екваторијалној равни централног тела. Шаблон:Math је у правцу пролећне равнодневице. Шаблон:Math је окомито на Шаблон:Math и са Шаблон:Math дефинише референтну раван. Шаблон:Math је управно на референтну раван. Орбитални елементи тела (планете, комете, астероиди, ...) у Сунчевом систему обично користе еклиптику као ту раван.
Шаблон:Math, Шаблон:Math су у орбиталној равни и са Шаблон:Math у правцу ка перицентру (периапсис). Шаблон:Math је управно на раван орбите. Шаблон:Math је међусобно окомито на Шаблон:Math и Шаблон:Math.

Затим, трансформација из Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math координатног оквира у оквир Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math са Ојлеровим угловима Шаблон:Math, Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar је:

\begin{matrix} x_{1} & = \cos Ω \cdot \cos ω - \sin Ω \cdot \cos i \cdot \sin ω; \\ x_{2} & = \sin Ω \cdot \cos ω + \cos Ω \cdot \cos i \cdot \sin ω; \\ x_{3} & = \sin i \cdot \sin ω; \\ y_{1} & = - \cos Ω \cdot \sin ω - \sin Ω \cdot \cos i \cdot \cos ω; \\ y_{2} & = - \sin Ω \cdot \sin ω + \cos Ω \cdot \cos i \cdot \cos ω; \\ y_{3} & = \sin i \cdot \cos ω; \\ z_{1} & = \sin i \cdot \sin Ω; \\ z_{2} & = - \sin i \cdot \cos Ω; \\ z_{3} & = \cos i; \end{matrix}

[\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos ω & \sin ω & 0 \\ - \sin ω & \cos ω & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos i & \sin i \\ 0 & - \sin i & \cos i \end{matrix}] [\begin{matrix} \cos Ω & \sin Ω & 0 \\ - \sin Ω & \cos Ω & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}];

где је

\begin{matrix} \hat{𝐱} & = x_{1} \hat{𝐈} + x_{2} \hat{𝐉} + x_{3} \hat{𝐊}; \\ \hat{𝐲} & = y_{1} \hat{𝐈} + y_{2} \hat{𝐉} + y_{3} \hat{𝐊}; \\ \hat{𝐳} & = z_{1} \hat{𝐈} + z_{2} \hat{𝐉} + z_{3} \hat{𝐊} . \end{matrix}

Инверзна трансформација, која израчунава 3 координате у I-J-K систему дате 3 (или 2) координате у x-y-z систему, представљена је инверзном матрицом. Према правилима матричне алгебре, инверзна матрица производа 3 ротационе матрице добија се инвертовањем редоследа три матрице и променом предзнака три Ојлерова угла.

Трансформација од Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math до Ојлерових углова Шаблон:Math, Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar је: