Велика полуоса

Велика (a) и мала полуоса (bб) елипсе

Велика полуоса у геометрији служи да опише димензије елипсе или хиперболе. У геометрији, главна оса елипсе је њен најдужи пречник: сегмент линије који пролази кроз центар и оба фокуса, са крајевима у две најшире одвојене тачке периметра. Велика полуоса је најдужи полупречник или једна половина велике осе, и тако иде од центра, кроз фокус и до периметра. Мала полуоса елипсе или хиперболе је сегмент праве који је под правим углом са великом полуосом и има један крај у центру конусног пресека. За посебан случај круга, дужине полуосе су једнаке полупречнику круга.

Дужина велике полуосе Шаблон:Mvar елипсе повезана је са дужином мале полуосе Шаблон:Mvar кроз ексцентрицитет Шаблон:Mvar и полу-латус ректум $\ell$, на следећи начин:

Велика полуоса хиперболе је, у зависности од конвенције, плус или минус половина растојања између две гране. Дакле, то је растојање од центра до било ког врха хиперболе.

Парабола се може добити као граница низа елипса где је један фокус фиксиран док је другом дозвољено да се помера произвољно далеко у једном правцу, држећи $\ell$ фиксним. Тако Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar теже бесконачности, Шаблон:Mvar брже од Шаблон:Mvar.

Велика и мала оса су оса симетрије за криву: у елипси, мала оса је краћа; код хиперболе је она која не сече хиперболу.

У астрономији велика полуоса је један од шест орбиталних елемената који описују путању једног тела. Велика полуоса код елиптичне путање је половина веће осе елипсе, и представља, како би се могло рећи просечно растојање објекта од Сунца, ако се ради о елиптичној путањи где је Сунце у једној од жижа. Орбитални период објекта се у односу на велику осу, о чему говори трећи Кеплеров закон, односи као: $T^2\propto a^3$

Елипса

Једначина елипсе је Шаблон:Block indent

где је (h, k) центар елипсе у Декартовим координатама, у којој је произвољна тачка дата са (x, y).

Главна полуоса је средња вредност максималног и минималног растојања: $r_{\text{max}}$ и $r_{\text{min}}$ елипсе из фокуса — то јест, растојања од фокуса до крајњих тачака главне осе Шаблон:Block indent У астрономији ове екстремне тачке се називају апсиде.

Мала полуоса елипсе је геометријска средина ових растојања: Шаблон:Block indent

Ексцентрицитет елипсе се дефинише као Шаблон:Block indent те је Шаблон:Block indent

Сада размотрино једначину у поларним координатама, са једним фокусом на исходишту, а другим у правцу $\theta =\pi$: Шаблон:Block indent

Средња вредност од $r=\ell /(1-e)$ и $r=\ell /(1+e)$, за $\theta =\pi$ и $\theta =0$ је

У елипси, велика полуоса је геометријска средина удаљености од центра до било ког фокуса и растојања од центра до било које директрисе.

Мала полуоса елипсе иде од центра елипсе (тачка на пола пута између и на линији која пролази између жаришта) до ивице елипсе. Мала полу-оса је половина мале осе. Мала оса је најдужи линијски сегмент нормалан на главну осу који спаја две тачке на ивици елипсе.

Мала полуоса Шаблон:Mvar је повезана са великом полуосом Шаблон:Mvar кроз ексцентрицитет Шаблон:Mvar и полулатус ректум $\ell$, на следећи начин:

Парабола се може добити као граница низа елипси где је један фокус фиксиран док је другом дозвољено да се помера произвољно далеко у једном правцу, држећи $\ell$ фиксним. Тако Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar теже бесконачности, Шаблон:Mvar брже од Шаблон:Mvar.

Дужина мале полуосе се такође може наћи помоћу следеће формуле: Шаблон:Block indent где је Шаблон:Mvar растојање између фокуса, Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar су растојања од сваког фокуса до било које тачке у елипси.

Хипербола

Велика полуоса хиперболе је, у зависности од конвенције, плус или минус половина растојања између две гране; ако је ово Шаблон:Mvar у x-смеру, једначина је:

У погледу семи-латус ректума и ексцентричности које важи

Попречна оса хиперболе поклапа се са великом осом.

У хиперболи, коњугирана оса или мала оса дужине $2b$, која одговара малој оси елипсе, може се повући окомито на попречну осу или главну осу, која повезује два врха (прекретнице) хиперболе, са две осе које се секу у центру хиперболе. Крајње тачке $(0,\pm b)$ мале осе леже у висини асимптота изнад/испод врхова хиперболе. Било која половина мале осе се назива полумала оса, дужине Шаблон:Mvar. Означавајући дужину велике полуосе (удаљеност од центра до темена) као Шаблон:Mvar, дужине мале и велике полуосе се појављују у једначини хиперболе у односу на ове осе на следећи начин:

Мала полуоса је такође растојање од једног од фокуса хиперболе до асимптоте. Често звана параметар удара, она је важна у физици и астрономији и изражава раздаљину на којој ће честица промашити фокус ако тело у фокусу не омета њено путовање.

Мала полуоса и велика полуоса су повезане кроз ексцентрицитет, на следећи начин:

Треба имати на уму да у хиперболи Шаблон:Mvar може бити веће од Шаблон:Mvar.

Астрономија

Орбитални период

У астродинамици орбитални период Шаблон:Mvar малог тела које кружи око централног тела у кружној или елиптичној орбити је:

где је: Шаблон:Block indent Шаблон:Block indent

Све елипсе са датом великом полуосом имају исти орбитални период, без обзира на њихов ексцентрицитет.

Специфични угаони момент Шаблон:Mvar малог тела које кружи око централног тела у кружној или елиптичној орбити је Шаблон:Block indent

где је: Шаблон:Block indent Шаблон:Block indent

У астрономији, велика полуоса је један од најважнијих орбиталних елемената орбите, заједно са њеним орбиталним периодом. За објекте Сунчевог система, велика полуоса је повезана са периодом орбите по Кеплеровом трећем закону (првобитно емпиријски изведеном):

где је Шаблон:Mvar период, а Шаблон:Mvar велика полуоса. Испоставило се да је овај облик поједностављење опште форме за проблем два тела, како је одредио Њутн:

где је Шаблон:Mvar гравитациона константа, Шаблон:Mvar маса централног тела, а Шаблон:Mvar маса тела у орбити. Типично, маса централног тела је толико већа од масе тела у орбити, да се Шаблон:Mvar може занемарити. Изношење те претпоставке и коришћење типичних астрономских јединица резултира једноставнијим обликом који је Кеплер открио

Велике и полу-мале осе путања планета

Орбите планета се увек наводе као главни примери елипса (Кеплеров први закон). Међутим, минимална разлика између велике и полумале осе показује да су оне практично кружног изгледа. Та разлика (или однос) је заснована на ексцентрицитету и израчунава се као $\frac{a}{b}=\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}$, што за типичне ексцентричности планета даје веома мале резултати.

Разлог за претпоставку о истакнутим елиптичним орбитама вероватно лежи у много већој разлици између афела и перихела. Та разлика (или однос) се такође заснива на ексцентрицитету и израчунава се као $\frac{r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}=\frac{1+e}{1-e}$. Због велике разлике између афела и перихела, Кеплеров други закон се лако визуелизује.

	Ексцентрицитет	Велика полуоса a (AU)	Мала полуоса b (AU)	Разлика (%)	Перихел (AU)	Афел (AU)	Разлика (%)
Меркур	0,206	0,38700	0,37870	2,2	0,307	0,467	52
Венера	0,007	0,72300	0,72298	0,002	0,718	0,728	1,4
Земља	0,017	1,00000	0,99986	0,014	0,983	1,017	3,5
Марс	0,093	1,52400	1,51740	0,44	1,382	1,666	21
Јупитер	0,049	5,20440	5,19820	0,12	4,950	5,459	10
Сатурн	0,057	9,58260	9,56730	0,16	9,041	10,124	12
Уран	0,046	19,21840	19,19770	0,11	18,330	20,110	9,7
Нептун	0,010	30,11000	30,10870	0,004	29,820	30,400	1,9

Литература

• Р. Грин: „Астрономија: Класика у новом руху“, Веста, 1998.
• З. Бркић и Б. Шеварлић: „Општа астрономија“, Научна књига, 1981.
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite report – a serious treatment of orbital elements
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation

Спољашње везе

• Semi-major and semi-minor axes of an ellipse With interactive animation
• Шаблон:Cite web – also furnishes orbital elements for a large number of solar system objects

• Шаблон:Cite web

• Шаблон:Cite web

• Шаблон:Cite web – access to VEC2TLE software

• Шаблон:Cite web – orbital elements of the major planets