Модификоване Беселове функције

Модификоване Беселове функције $I_{\alpha }(x)$ и $K_{\alpha }(x)$ представљају решења измењене Беселове диференцијалне једначине:

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}-(x^2+{\alpha }^2)y=0.$

Основне функције

Модификована Беселова диференцијална једначина добија се ако се у Беселовој диференцијалној једначини:

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-{\nu }^2)y=0$

замени реално $x$ са имагинарним $ix$, тако да се добија

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}-(x^2+{\nu }^2)y=0,$

Ако $\nu$ није цели број онда $J_{\nu }(ix)$ и $J_{-\nu }(ix)$ представљају два линерано независна решења једначине. Иначе $J_{\nu }(x)$ представља стандардну Беселову функцију. Међутим чешће се користи функција:

$I_{\nu }(x)=i^{-n}{J}_{\nu }(ix)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k+\nu }}{k!\mathrm{\Gamma }(k+\nu +1)}$ и $I_{-\nu }(x).$

Називају их модификованим Беселовим функцијама првога реда или Инфелдовим функцијама.

Решење модификоване Беселове функције је и функција:

$K_{\nu }(x)=\frac{\pi }{2\sin \nu \pi }[I_{\nu }(x)-I_{-\nu }(x)]$

коју називају модификованом Беселовом функцијом другога реда или Макдоналдовом функцијом.

Рекурзивне релације

Рекурзивне релације за модификоване функције првога реда

${\left(\frac{d}{zdz}\right)}^m[z^{\nu }{I}_{\nu }(z)]=z^{\nu -m}{I}_{\nu -m}(z).$

${\left(\frac{d}{zdz}\right)}^m[z^{-\nu }{I}_{\nu }(z)]=z^{-\nu -m}{I}_{\nu +m}(z).$

$I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z)=2\nu z^{-1}{I}_{\nu }(z).$

$I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)=2I{\text{'}}_{\nu }(z).$

Рекурзивне релације за модификоване функције другога реда

${\left(\frac{d}{zdz}\right)}^m[z^{\nu }{K}_{\nu }(z)]=(-1{)}^m{z}^{\nu -m}{K}_{\nu -m}(z).$

${\left(\frac{d}{zdz}\right)}^m[z^{-\nu }{K}_{\nu }(z)]=(-1{)}^m{z}^{-\nu -m}{K}_{\nu +m}(z).$

$K_{\nu -1}(z)-K_{\nu +1}(z)=-2\nu z^{-1}{K}_{\nu }(z).$

$K_{\nu -1}(z)+K_{\nu +1}(z)=-2K{\text{'}}_{\nu }(z).$

Вронскијан

$W[I_{\nu }(z),I_{-\nu }(z)]=-\frac{2\sin (\nu \pi )}{\pi z}.$

$W[I_{\nu }(z),K_{\nu }(z)]=-z^{-1}.$

Интегрални приказ

Интегрални приказ модификованих функција првога реда

$I_{\nu }(z)=\frac{2^{-\nu }{z}^{\nu }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{z\cos t}{(\sin t)}^{2\nu }dt,Re(\nu )>-\frac{1}{2},\mathrm{\Gamma }(z)$ — гама функција.

$I_{\nu }(z)=\frac{2^{1-\nu }{z}^{\nu }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-t^2{)}^{\nu -\frac{1}{2}}\cosh (zt)dt,Re(\nu )>-\frac{1}{2}.$

$I_{\nu }(z)=\frac{2^{-\nu }{z}^{\nu }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(1-t^2{)}^{\nu -\frac{1}{2}}{e}^{-zt}dt,Re(\nu )>-\frac{1}{2}.$

$I_n(z)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{z\cos t}\cos (nt)dt,n\in \mathbb{Z},Re(z)>0.$

Интегрални приказ модификованих функција другога реда

$K_{\nu }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z\cosh t}\cosh (\nu t)dt,|Arg(z)|<\frac{\pi }{2}.$

$K_{\nu }(z)=\frac{\sqrt{\pi }{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu }}{\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(t^2-1)}^{\nu -\frac{1}{2}}{e}^{-zt}dt,Re(\nu )>-\frac{1}{2},|Arg(z)|<\frac{\pi }{2}.$

$K_{\nu }(z)=\frac{\sqrt{\pi }{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu }}{\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z\cosh t}{(\sinh t)}^{2\nu }dt,Re(\nu )>-\frac{1}{2},|Arg(z)|<\frac{\pi }{2}.$

Асимптотски облик

$I_{\nu }(z)\propto \frac{e^z}{\sqrt{2\pi z}}(1+O\left(\frac{1}{z}\right)),|Arg(z)|<\frac{\pi }{2},\left|z\right|\to \mathrm{\infty }.$

$K_{\nu }(z)\propto \sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{e^{-z}}{\sqrt{z}}(1+O\left(\frac{1}{z}\right)),\left|z\right|\to \mathrm{\infty }.$

Литература

• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.}-
• Модификоване Беселове функције првога реда