Лијувилова теорема (комплексна анализа)

Лијувилова теорема је теорема из области комплексне анализе. Она гласи: ако је функција $f$ холоморфна над цијелим скупом комплексних бројева ($f\in H(ℂ)$ и ограничена, тада је она идентички константа, тј. $f\equiv const$.

Доказ

Нека је $K_R=\{z||z-0|<R\}$ круг са полупречником $R$ и центром у нули. Како је функција холоморфна у $ℂ$, она је холоморфна и унутар $K_R$, па можемо да је развијемо у Тејлоров ред:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-0{)}^n,\mathrm{\forall }z\in K_R$

$a_n=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{|\xi -0|=R}{\int }\frac{f(\xi )}{(\xi -0{)}^{n+1}}$

Како је $f$ ограничена, онда постоји $M>0$ тако да је $|f(z)|\le M,\mathrm{\forall }z\in ℂ$. Зато важе Кошијеве неједнакости:

$|a_n|\le \frac{M}{R^n}$.

Одатле:

$n\ne 0:\frac{M}{R^n}\to 0,R\to \mathrm{\infty }\Rightarrow |a_n|\to 0$. (пустили смо да $R\to \mathrm{\infty }$ јер ће једначина бити иста за ма колико велико $R$).

$n=0:\frac{M}{R^n}=\frac{M}{R^0}=\frac{M}{1}=M\to ̸0$

Пошто су сви коефицијенти у Тејлоровом развоју једнаки нули, осим коефицијента $a_0$, слиједи да је:

$f(z)=a_0\Rightarrow f(z)\equiv const$.