Лисажуова крива

У математици, Лисажуова крива (Лисажуова фигура) је график система параметарских једначина

x = A \sin (a t + δ), y = B \sin (b t),

који описује комплексно хармонијско кретање. Ову породицу кривих је проучавао Натанијел Баудич 1815. године, а касније и нешто детаљније Жил Антоан Лисажу 1857. године.

Облик фигуре веома је осетљив на однос -{a/b}-. За однос 1, фигура је елипса, где посебни случајеви укључују кругове (-{A = B}-, δ = π/2 радијана) и линије (δ = 0). Још једна проста Лисажуова фигура је парабола (-{a/b}- = 2, δ = π/2). Остали односи имају за последицу сложеније криве, које су затворене само ако је -{a/b}- рационалан. Визуелни облик ових кривих често сугерише тродимензионални чвор, и заиста се многе врсте чворова, укључујући и оне познате као Лисажуови чворови, пројектују на раван као Лисажуове фигуре.

Лисажуове фигуре где -{a}-=1, -{b=N}- (природан број) и $δ = \frac{N - 1}{N} \frac{π}{2}$ су Шебишевљеви полиноми прве врсте степена -{N}-.

Лисажуове фигуре се понекад користе у графичком дизајну као логотипови. Примери укључују логотипове компаније -{Australian Broadcasting Corporation}- (a = 1, -{b}- = 3, δ = π/2) и Линколнову лабораторију на MIT универзитету (a = 4, -{b}- = 3, δ = 0).^[1]

Пре појаве модерне рачунарске графике, Лисажуове фигуре су се обично генерисале користећи осцилоскопе. На улазу осцилоскопа се ставе две фазно померене синусоиде у -{X-Y}- моду, а фазна веза између сигнала представљена је Лисажуовом фигуром. Лисажуове криве се могу цртати и механички, помоћу хармонографа.

Испод су неки примери Лисажуових фигура за δ = π/2, a парно, b непарно, |a − b| = 1.

a = 1, b = 2 (1:2)
a = 3, b = 2 (3:2)
a = 3, b = 4 (3:4)
a = 5, b = 4 (5:4)
a = 5, b = 6 (5:6)
a = 9, b = 8 (9:8)

Спирограф

Иако подсећају на Лисажуове фигуре, спирографи се разликују по томе што су обично ограничени кружницом, док су Лисажуове криве ограничене квадратом (±-{A}-, ±-{B}-).