Лагранжева функција

Када се решава проблем кретања система више тела, користи се Лагранжев формализам који упрошћава праћење еволуције система. Тачније, користе се једначине:$-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$

где је $L=T-U$ Лагранжијан или Лагранжева функција, док је Т — кинетичка енергија система, а U — потенцијална енергија система, док су ${\dot{q}}_i$ — генералисане брзине, а $q_i$ — генералисане координате.

Извођење

Полазимо од Даламберовог принципа да је рад сила реакција подлоге при могућем или виртуелном померању тела једнак 0, тј. ако је:$m_{\nu }{\overrightarrow{a}}_{\nu }-{\overrightarrow{F}}_{\nu }={\overrightarrow{R}}_{\nu }$, где је $m_{\nu }$ — маса ν-тог тела, а_ν — његово убрзање, ${\overrightarrow{F}}_{\nu }$ — резултанта дејствујућих сила на ν-то тело и ${\overrightarrow{R}}_{\nu }$ — реакција подлоге на ν-то тело, тада је: $\sum _{\nu =1}^N{\overrightarrow{R}}_{\nu }\cdot \delta {\overrightarrow{r}}_{\nu }=0$, односно $\sum _{\nu =1}^N(m_{\nu }{\overrightarrow{a}}_{\nu }-{\overrightarrow{F}}_{\nu })\cdot \delta {\overrightarrow{r}}_{\nu }=0$ 1.

$\delta {\overrightarrow{r}}_{\nu }=\sum _{i=1}^n\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial q_i}\delta q_i$; ${\overrightarrow{v}}_{\nu }=\frac{d{\overrightarrow{r}}_{\nu }}{dt}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial q_i}{\dot{q}}_i$=> $\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial q_i}=\frac{\partial {\overrightarrow{v}}_{\nu }}{\partial {\dot{q}}_i}$, сада израз 1. постаје

$\sum _{\nu =1}^N(m_{\nu }\frac{d{\overrightarrow{v}}_{\nu }}{dt}-{\overrightarrow{F}}_{\nu })\cdot \delta {\overrightarrow{r}}_{\nu }=0$ уз $\frac{d{\overrightarrow{v}}_{\nu }}{dt}=\sum _{i=1}^n(\frac{\partial {\overrightarrow{v}}_{\nu }}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial q_i}{\ddot{q}}_i)$, а $\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial q_i}{\ddot{q}}_i=\frac{d\left(\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial q_i}{\dot{q}}_i\right)}{dt}-\frac{\partial {\overrightarrow{v}}_{\nu }}{\partial q_i}{\dot{q}}_i$

$\sum _{\nu =1}^N{m}_{\nu }\sum _{i=1,j=1}^n\left(\frac{d\left(\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial q_i}{\dot{q}}_i\right)}{dt}\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial q_j}\right)\delta q_j-\sum _{\nu =1}^N{\overrightarrow{F}}_{\nu }\sum _{j=1}^n\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial q_j}\delta q_j=0$

Како је кинетичка енергија, $T=\sum _{\nu =1}^N\frac{1}{2}{m}_{\nu }{v}_{\nu }^2=\sum _{\nu =1}^N{m}_{\nu }\sum _{i=1,j=1}^n\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial {\dot{q}}_i}{\dot{q}}_i\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial {\dot{q}}_j}{\dot{q}}_j$=>

$m_{\nu }\sum _{j=1}^n\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial q_j}\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial q_i}{\dot{q}}_j=\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_i}$=> $\sum _{\nu =1}^N{m}_{\nu }\sum _{i=1,j=1}^n\left(\frac{d\left(\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial q_i}{\dot{q}}_i\right)}{dt}\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial q_j}\right)\delta q_j=\sum _{j=1}^n(\frac{d\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_j}\right)}{dt}-\frac{\partial T}{\partial q_j})\delta q_j$

Па ако су силе потенцијалне, тј. важи ${\overrightarrow{F}}_{\nu }=-\frac{\partial U}{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}$, то израз ${\overrightarrow{F}}_{\nu }\sum _{i=1}^n\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_{\nu }}{\partial q_i}=-\frac{\partial U}{\partial q_j}$

и коначно једначина 1 постаје:$\sum _{j=1}^n(\frac{d\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_j}\right)}{dt}-\frac{\partial T}{\partial q_j}+\frac{\partial U}{\partial q_j})\delta q_j=0$

Како су могућа померања $\delta q_j$произвољна, то следи: $-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)+\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$

Примери

Математичко клатно

Приказ клатна са дејствујућим силама, везама и генералисаном координатом

Круто тело занемарљиве масе ограничава кретање тела масе ṁ занемарљивих димензија, тако да се кретање прати замо углом θ — отклона штапа од вертикале, па се добије:$d\overrightarrow{r}=dr{\overrightarrow{e}}_r+rd\theta {\overrightarrow{e}}_{\theta }$=> $d\overrightarrow{r}=rd\theta {\overrightarrow{e}}_{\theta };dr=0$

$v=r\dot{\varphi }$; $T=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2$; $U=mgl(1-\cos \theta )$

$L=T-U=\frac{1}{2}m{r}^2{\dot{\varphi }}^2-mgl(1-\cos \theta )$, па из

$-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}\right)+\frac{\partial L}{\partial \theta }=0$=> $l^2\ddot{\theta }=-lg\sin \theta$, па за $\theta \to 0$ произилази решење $\theta =A\cos (\omega t+{\varphi }_0)$$\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}$

Кретање у Кулоновом пољу сила

Кулоново поље сила припада типу централних сила, код којих је момент импулса једнак 0.$\overrightarrow{r}\times m\overrightarrow{\dot{v}}=\overrightarrow{r}\times F(r)\frac{\overrightarrow{r}}{r}$, а по својству векторског производа $\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{r}=0$, па је $\overrightarrow{r}\times m\overrightarrow{v}=m{r}^2\dot{\varphi }\overrightarrow{k}$константа кретања.

Исти резултат лако добијамо из Лангражевог формализма:$-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}-\frac{\partial L}{\partial \varphi }=0$

$L=T-U=\frac{1}{2}m{r}^2{\dot{\varphi }}^2-\frac{Z{e}^2}{4\pi {ϵ}_{0}r}$=>$\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=m{r}^2\dot{\varphi }$,јер је $\frac{\partial L}{\partial \varphi }=0$

Ẕ — број протона у језгри атома или редни број атома, ṁ — маса електрона, е — наелектрисање електрона, ε₀ — диелектричка пропустљивост вакуума.