Конструкције магичних квадрата

Током миленијума, откривени су многи начини за конструкцију магичних квадрата. Ове методе се могу класификовати као опште и специјалне методе, у смислу да опште методе омогућавају да конструишемо више од једног магичног квадрата задатог реда, док специјалне методе омогућавају конструкцију само једног магичног квадрата задатог реда. Специјалне методе су специфични алгоритми, док опште методе могу захтевати мало покушаја и грешака.

Специјалне методе су најједноставнији начини за конструкцију магичних квадрата. Оне прате одређене алгоритме који генеришу правилне обрасце бројева у квадрату. Исправност ових специјалних метода може бити доказана коришћењем једне од општих метода датих у каснијим одељцима. Након што је магични квадрат конструисан коришћењем специјалне методе, трансформације описане у претходном одељку могу се применити за добијање нових магичних квадрата. Специјалне методе се обично називају по ауторима (ако су познати) који су их описали, на пример де ла Луберова метода, Стрејчијева метода, Башеова метода итд.

Магични квадрати постоје за све редове осим за ред 2, пошто се они тривијално могу посматрати као хомогени систем линеарних једначина који се састоји од (највише) $2n+2$ једначина и $n^2+1$ променљивих. Магични квадрати се могу класификовати према њиховом реду као непарни, двоструко парни (n дељиво са четири) и једноструко парни (n парно, али није дељиво са четири). Ова класификација се заснива на чињеници да се за конструкцију ових различитих врста квадрата морају применити потпуно различите технике. Непарне и двоструко парне магичне квадрате је лако генерисати; конструкција једноструко парних магичних квадрата је тежа, али постоји неколико метода, укључујући ЛУКС методу за магичне квадрате Џона Хортона Конвеја и Стрејчијеву методу.

Специјалне методе конструкције

Метода за конструисање магичног квадрата реда 3

У 19. веку, Едуар Лука је осмислио општу формулу за магичне квадрате реда 3. Размотримо следећу табелу састављену од позитивних целих бројева a, b и c:

c − b	c + (a + b)	c − a
c − (a − b)	c	c + (a − b)
c + a	c − (a + b)	c + b

Ових девет бројева ће бити различити позитивни цели бројеви који формирају магични квадрат са магичном константом 3c све док је 0 < a < b < c − a и b ≠ 2a. Штавише, сваки 3×3 магични квадрат различитих позитивних целих бројева је овог облика.

Године 1997. Ли Салоус је открио да остављајући по страни ротације и рефлексије, сваки различити паралелограм нацртан на Аргановом дијаграму дефинише јединствени 3×3 магични квадрат, и обрнуто, резултат који никада раније није био примећен.

Метода за конструисање магичног квадрата непарног реда

Метода конструкције Јанг Хуеја

Метода за конструкцију магичних квадрата непарног реда објављена је од стране француског дипломате де ла Лубера у његовој књизи A new historical relation of the kingdom of Siam (Du Royaume de Siam, 1693), у поглављу под насловом Проблем магичног квадрата према Индијцима. Метода функционише на следећи начин:

Метода налаже да се почне у централној колони првог реда са бројем 1. Након тога, основно кретање за попуњавање поља је дијагонално горе и десно, један по један корак. Ако је поље попуњено вишекратником реда n, уместо тога се помера вертикално доле за једно поље, а затим се наставља као и раније. Када би потез „горе и десно” напустио квадрат, он се пребацује у последњи ред или прву колону, респективно.

корак 1

	1

корак 2

	1
		2

корак 3

	1
3
		2

корак 4

	1
3
4		2

корак 5

	1
3	5
4		2

корак 6

	1	6
3	5
4		2

корак 7

	1	6
3	5	7
4		2

корак 8

8	1	6
3	5	7
4		2

корак 9

8	1	6
3	5	7
4	9	2

Почетак из других поља, а не из централне колоне првог реда, је могућ, али ће тада само збирови редова и колона бити идентични и резултираће магичним збиром, док ће се збирови на дијагоналама разликовати. Резултат ће стога бити полумагични квадрат, а не прави магични квадрат. Кретање у правцима осим североистока такође може резултирати магичним квадратима.

Ред 3

8	1	6
3	5	7
4	9	2

Ред 5

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

Ред 9

47	58	69	80	1	12	23	34	45
57	68	79	9	11	22	33	44	46
67	78	8	10	21	32	43	54	56
77	7	18	20	31	42	53	55	66
6	17	19	30	41	52	63	65	76
16	27	29	40	51	62	64	75	5
26	28	39	50	61	72	74	4	15
36	38	49	60	71	73	3	14	25
37	48	59	70	81	2	13	24	35

Метода за конструкцију магичног квадрата двоструко парног реда

Двоструко паран значи да је n парни умножак парног целог броја; или 4p (нпр. 4, 8, 12), где је p цео број.

Општи образац

Сви бројеви се исписују редом слева надесно кроз сваки ред, почевши од горњег левог угла. Бројеви се затим или задржавају на истом месту или замењују са својим дијаметрално супротним бројевима по одређеном правилном обрасцу. У магичном квадрату четвртог реда, бројеви у четири централна поља и једно поље у сваком углу задржавају се на истом месту, док се остали замењују са својим дијаметрално супротним бројевима.

Конструкција магичног квадрата реда 4

Почевши од горњег левог угла, идите слева надесно кроз сваки ред квадрата, бројећи сваку ћелију од 1 до 16 и попуњавајући ћелије дуж дијагонала одговарајућим бројем. Када се стигне до доње десне ћелије, наставите тако што ћете ићи здесна налево, почевши од доњег десног угла табеле кроз сваки ред, и попуните недијагоналне ћелије бројећи од 1 до 16 са одговарајућим бројем. Као што је приказано у наставку:

M = Ред 4

1			4
	6	7
	10	11
13			16

M = Ред 4

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

Проширење претходног примера за редове 8 и 12

Прво генеришите табелу обрасца, где '1' означава избор из квадрата где су бројеви исписани редом од 1 до n² (слева надесно, одозго надоле), а '0' означава избор из квадрата где су бројеви исписани обрнутим редом од n² до 1. За M = 4, табела обрасца је као што је приказано у наставку (трећа матрица слева). Са осенченим неизмењеним ћелијама (ћелије са '1'), добија се укрштени образац.

M = Ред 4

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

M = Ред 4

16	15	14	13
12	11	10	9
8	7	6	5
4	3	2	1

M = Ред 4

1	0	0	1
0	1	1	0
0	1	1	0
1	0	0	1

M = Ред 4

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

Обрасци су: а) у сваком реду и колони постоји једнак број јединица ('1') и нула ('0'); б) сваки ред и свака колона су „палиндромски”; в) лева и десна половина су слике у огледалу; и г) горња и доња половина су слике у огледалу (в и г имплицирају б). Табела обрасца се може означити коришћењем хексадецималних бројева као (9, 6, 6, 9) ради једноставности (1 нибл по реду, 4 реда). Најједноставнији метод генерисања потребног обрасца за двоструко парне квадрате вишег реда је копирање општег обрасца за квадрат четвртог реда у сваки четири пута четири потквадрат.

За M = 8, могући избори за образац су (99, 66, 66, 99, 99, 66, 66, 99); (3C, 3C, C3, C3, C3, C3, 3C, 3C); (A5, 5A, A5, 5A, 5A, A5, 5A, A5) (2 нибла по реду, 8 редова).

M = Ред 8

1	0	0	1	1	0	0	1
0	1	1	0	0	1	1	0
0	1	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	1	0	0	1
0	1	1	0	0	1	1	0
0	1	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1

M = Ред 8

1			4	5			8
	10	11			14	15
	18	19			22	23
25			28	29			32
33			36	37			40
	42	43			46	47
	50	51			54	55
57			60	61			64

M = Ред 8

1	63	62	4	5	59	58	8
56	10	11	53	52	14	15	49
48	18	19	45	44	22	23	41
25	39	38	28	29	35	34	32
33	31	30	36	37	27	26	40
24	42	43	21	20	46	47	17
16	50	51	13	12	54	55	9
57	7	6	60	61	3	2	64

За M = 12, табела обрасца (E07, E07, E07, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, E07, E07, E07) даје магични квадрат (3 нибла по реду, 12 редова). Могуће је избројати број избора који се имају на основу табеле обрасца, узимајући у обзир ротационе симетрије.

Метода суперпозиције

Најраније откриће методе суперпозиције направио је индијски математичар Нарајана у 14. веку. Исту методу су касније поново открили и проучавали почетком 18. века у Европи де ла Лубер, Поањар, де Ла Ир и Совер; а метода се обично назива де Ла Ировом методом. Иако Ојлеров рад на магичним квадратима није био оригиналан, он је познат по томе што је претпоставио немогућност конструисања равномерно непарних међусобно ортогоналних грчко-латинских квадрата. Ова претпоставка је оповргнута средином 20. века. Ради јасноће излагања, могу се разликовати две важне варијације ове методе.

Ојлерова метода

Ова метода се састоји у конструисању два прелиминарна квадрата, који када се саберу дају магични квадрат. Као радни пример узима се магични квадрат 3×3. Сваки број природног квадрата 3×3 може бити означен паром бројева као

1	2	3
4	5	6
7	8	9

αa	αb	αc
βa	βb	βc
γa	γb	γc

где је сваки пар грчких и латиничних слова, нпр. Шаблон:Math, предвиђен да се сабере, тј. Шаблон:Math. Овде, Шаблон:Math. Бројеви 0, 3 и 6 се називају коренским бројевима, док се бројеви 1, 2 и 3 називају примарним бројевима. Важно опште ограничење овде је

• грчко слово се упарује са латиничним словом само једном.

Дакле, оригинални квадрат сада може бити подељен на два једноставнија квадрата:

α	α	α
β	β	β
γ	γ	γ

a	b	c
a	b	c
a	b	c

Квадрати са словима се називају грчким квадратом или латинским квадратом ако су попуњени грчким или латиничним словима, респективно. Магични квадрат може бити конструисан осигуравањем да су грчки и латински квадрати такође магични квадрати. Обрнуто од ове тврдње је такође често, али не увек (нпр. оивичени магични квадрати), тачно: магични квадрат се може разложити на грчки и латински квадрат, који су сами по себи магични квадрати. Дакле, метода је корисна како за синтезу тако и за анализу магичног квадрата. На крају, испитивањем обрасца у којем су бројеви распоређени у завршеном квадрату, често је могуће доћи до бржег алгоритма за конструисање квадрата вишег реда који реплицирају дати образац, без потребе за стварањем прелиминарних грчких и латинских квадрата.

Током конструкције магичног квадрата 3×3, грчки и латински квадрати са само три јединствена члана су много лакши за рад него оригинални квадрат са девет различитих чланова. Збир редова и колона грчког квадрата биће исти, α + β + γ, ако

• свако слово се појави тачно једном у датој колони или реду.

Ово се може постићи цикличном пермутацијом слова α, β и γ. Испуњавање ова два услова осигурава да је резултујући квадрат полумагични квадрат; а такви грчки и латински квадрати се називају међусобно ортогоналним. За дати ред n, постоји највише Шаблон:Nowrap квадрата у скупу међусобно ортогоналних квадрата, не рачунајући варијације услед пермутације симбола. Ова горња граница је тачна када је n прост број.

Да бисмо конструисали магични квадрат, такође треба да осигурамо да збир дијагонала буде једнак магичној константи. За то имамо трећи услов:

• или би сва слова требало да се појаве тачно једном у обе дијагонале; или у случају непарних квадрата, једна од дијагонала би требало да се састоји у потпуности од средњег члана, док би друга дијагонала требало да садржи сва слова тачно једном.

Међусобно ортогонални грчки и латински квадрати који задовољавају први део трећег услова (да се сва слова појављују у обе дијагонале) називају се међусобно ортогоналним двоструко дијагоналним грчко-латинским квадратима.

Непарни квадрати: За непарни квадрат 3×3, пошто су α, β и γ у аритметичкој прогресији, њихов збир је једнак производу реда квадрата и средњег члана, тј. α + β + γ = 3 β. Тако ће збирови на дијагоналама бити једнаки ако имамо β на главној дијагонали и α, β, γ на споредној дијагонали. Слично важи и за латински квадрат. Резултујући грчки и латински квадрати и њихова комбинација биће као у наставку. Латински квадрат је само ротација грчког квадрата за 90 степени у смеру супротном од казаљке на сату (или еквивалентно, превртање око вертикалне осе) са замењеним одговарајућим словима. Заменом вредности грчких и латиничних слова добиће се магични квадрат 3×3.

β	α	γ
γ	β	α
α	γ	β

c	a	b
a	b	c
b	c	a

βc	αa	γb
γa	βb	αc
αb	γc	βa

6	1	8
7	5	3
2	9	4

За непарне квадрате, ова метода објашњава зашто сијамска метода (метода де ла Лубера) и њене варијанте функционишу. Ова основна метода се може користити за конструкцију магичних квадрата непарног реда виших редова. Да резимирамо:

• За квадрате непарног реда, да би се конструисао грчки квадрат, поставите средњи члан дуж главне дијагонале, а остале чланове дуж споредне дијагонале. Преостале празне ћелије се попуњавају дијагоналним потезима. Латински квадрат се може конструисати ротирањем или превртањем грчког квадрата, и заменом одговарајућих слова. Магични квадрат се добија сабирањем грчког и латинског квадрата.

Посебност горенаведене методе конструкције за непарне магичне квадрате је та што ће се средњи број (n² + 1)/2 увек појавити у централној ћелији магичног квадрата. Пошто постоји (n − 1)! начина за распоређивање чланова споредне дијагонале, на овај начин можемо добити (n − 1)! грчких квадрата; исто важи и за латинске квадрате. Такође, пошто сваки грчки квадрат може бити упарен са (n − 1)! латинских квадрата, и пошто за сваки грчки квадрат средњи члан може бити произвољно постављен на главну дијагоналу или споредну дијагоналу (и одговарајуће дуж споредне или главне дијагонале за латинске квадрате), можемо конструисати укупно 2 × (n − 1)! × (n − 1)! магичних квадрата коришћењем ове методе. За n = 3, 5 и 7, ово ће дати 8, 1.152 и 1.036.800 различитих магичних квадрата, респективно. Дељењем са 8 да би се занемарили еквивалентни квадрати услед ротације и рефлексија, добијамо 1, 144 и 129.600 суштински различитих магичних квадрата, респективно.

Као још један пример, дата је конструкција магичног квадрата 5×5. Бројеви се директно уписују уместо слова. Означени квадрати се називају примарним квадратом или коренским квадратом ако су попуњени примарним бројевима или коренским бројевима, респективно. Бројеви су постављени око споредне дијагонале у коренском квадрату тако да средња колона резултујућег коренског квадрата има 0, 5, 10, 15, 20 (одоздо према горе). Примарни квадрат се добија ротацијом коренског квадрата у смеру супротном од казаљке на сату за 90 степени, и заменом бројева. Резултујући квадрат је асоцијативни магични квадрат, у којем сваки пар бројева симетрично супротан центру даје исту вредност, 26. На пример, 16+10, 3+23, 6+20 итд. У завршеном квадрату, 1 је смештен у централну ћелији доњег реда, а узастопни бројеви се постављају издуженим скакачевим потезом (две ћелије десно, две ћелије доле), или еквивалентно, ловачким потезом (две ћелије дијагонално доле десно). Када дође до судара, прекидни потез је померање једне ћелије горе. Сви непарни бројеви се јављају унутар централног ромба који формирају 1, 5, 25 и 21, док су парни бројеви смештени у угловима. Појава парних бројева се може извести копирањем квадрата на суседне стране. Парни бројеви из четири суседна квадрата ће формирати крст. Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-break

10				5
	10		20
		10
	0		10
15				10

10			0	5
	10		20	0
0		10
	0		10
15		0		10

10	15	20	0	5
5	10	15	20	0
0	5	10	15	20
20	0	5	10	15
15	20	0	5	10

2	1	5	4	3
1	5	4	3	2
5	4	3	2	1
4	3	2	1	5
3	2	1	5	4

12	16	25	4	8
6	15	19	23	2
5	9	13	17	21
24	3	7	11	20	24
18	22	1	10	14	18	22
			4	8	12	16
				2	6

Варијација горњег примера, где је редослед споредне дијагонале узет у другачијем редоследу, дата је испод. Резултујући магични квадрат је преврнута верзија познатог Агрипиног Марсовог магичног квадрата. То је асоцијативни магични квадрат и исти је као онај произведен Мосхопулосовом методом. Овде резултујући квадрат почиње са бројем 1 постављеним у ћелију која је десно од централне ћелије, и наставља се де ла Луберовом методом, потезом доле-десно. Када дође до судара, прекидни потез је померање две ћелије десно. Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-break

10				20
	10		15
		10
	5		10
0				10

10	0	15	5	20
20	10	0	15	5
5	20	10	0	15
15	5	20	10	0
0	15	5	20	10

1	4	2	5	3
4	2	5	3	1
2	5	3	1	4
5	3	1	4	2
3	1	4	2	5

11	4	17	10	23
24	12	5	18	6
7	25	13	1	19
20	8	21	14	2
3	16	9	22	15

У претходним примерима, за грчки квадрат, други ред се може добити из првог реда његовим цикличним померањем удесно за једну ћелију. Слично, трећи ред је циклично померена верзија другог реда за једну ћелију удесно; и тако даље. Исто тако, редови латинског квадрата се циклично померају улево за једну ћелију. Померања редова за грчки и латински квадрат су у међусобно супротним смеровима. Могуће је циклично померити редове за више од једне ћелије како би се креирао грчки и латински квадрат.

• За квадрате непарног реда, чији ред није дељив са три, можемо креирати грчке квадрате померањем реда за два места улево или удесно да бисмо формирали следећи ред. Латински квадрат се прави превртањем грчког квадрата дуж главне дијагонале и заменом одговарајућих слова. Ово нам даје латински квадрат чији редови се креирају померањем реда у смеру супротном од оног у грчком квадрату. Грчки квадрат и латински квадрат треба да буду упарени тако да су њихова померања редова у међусобно супротним смеровима. Магични квадрат се добија сабирањем грчког и латинског квадрата. Када се такође догоди да је ред прост број, ова метода увек креира пандијагонални магични квадрат.

Ово суштински поново ствара потез скакача. Сва слова ће се појавити у обе дијагонале, осигуравајући тачан збир дијагонала. Пошто постоји n! пермутација грчких слова помоћу којих можемо креирати први ред грчког квадрата, постоји дакле n! грчких квадрата који се могу креирати померањем првог реда у једном смеру. Исто тако, постоји n! таквих латинских квадрата креираних померањем првог реда у супротном смеру. Пошто грчки квадрат може бити комбинован са било којим латинским квадратом са супротним померањима редова, постоји n! × n! таквих комбинација. На крају, пошто се грчки квадрат може креирати померањем редова улево или удесно, постоји укупно 2 × n! × n! магичних квадрата који се могу формирати овом методом. За n = 5 и 7, пошто су то прости бројеви, ова метода креира 28.800 и 50.803.200 пандијагоналних магичних квадрата. Дељењем са 8 како би се занемарили еквивалентни квадрати услед ротације и рефлексија, добијамо 3.600 и 6.350.400 еквивалентних квадрата. Даљим дељењем са n² како би се занемарили еквивалентни панмагични квадрати услед цикличног померања редова или колона, добијамо 144 и 129.600 суштински различитих панмагичних квадрата. За квадрате реда 5, ово су једини панмагични квадрати који постоје. Услов да ред квадрата не буде дељив са 3 значи да овом методом не можемо конструисати квадрате редова 9, 15, 21, 27 и тако даље.

У примеру испод, квадрат је конструисан тако да је број 1 у централној ћелији. У завршеном квадрату, бројеви се могу континуирано набрајати скакачевим потезом (две ћелије горе, једна ћелија десно). Када дође до судара, прекидни потез је померање једне ћелије горе, једне ћелије лево. Резултујући квадрат је пандијагонални магични квадрат. Овај квадрат такође има додатну ђаволску особину да било којих пет ћелија у обрасцу квинкунса (облик петице на коцкици) који формира било који непарни потквадрат, укључујући преклапање на ивицама, даје збир који је једнак магичној константи, 65. На пример, 13+7+1+20+24, 23+1+9+15+17, 13+21+10+19+2 итд. Такође четири угла било ког квадрата 5×5 и централна ћелија, као и средње ћелије сваке стране заједно са централном ћелијом, укључујући преклапање, дају магични збир: 13+10+19+22+1 и 20+24+12+8+1. На крају четири ромбоида који формирају издужене крстове такође дају магични збир: 23+1+9+24+8, 15+1+17+20+12, 14+1+18+13+19, 7+1+25+22+10. Такви квадрати са бројем 1 у централној ћелији се такође називају Божјим магичним квадратима у исламском дизајну амајлија, где се централна ћелија или оставља празна или се испуњава Божјим именом. Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-break

10	15	20	0	5
0	5	10	15	20
15	20	0	5	10
5	10	15	20	0
20	0	5	10	15

3	1	4	2	5
4	2	5	3	1
5	3	1	4	2
1	4	2	5	3
2	5	3	1	4

13	16	24	2	10
4	7	15	18	21
20	23	1	9	12
6	14	17	25	3
22	5	8	11	19

Такође можемо комбиновати грчке и латинске квадрате конструисане различитим методама. У примеру испод, примарни квадрат је направљен коришћењем скакачевог потеза. Поново смо креирали магични квадрат добијен де ла Луберовом методом. Као и раније, овом комбинацијом можемо формирати Шаблон:Nowrap магичних квадрата. За Шаблон:Nowrap, ово ће креирати 23.040 и 29.030.400 магичних квадрата. Након дељења са 8 како би се занемарили еквивалентни квадрати услед ротације и рефлексије, добијамо 2.880 и 3.628.800 квадрата. Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-break

15	20	0	5	10
20	0	5	10	15
0	5	10	15	20
5	10	15	20	0
10	15	20	0	5

2	4	1	3	5
3	5	2	4	1
4	1	3	5	2
5	2	4	1	3
1	3	5	2	4

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

За квадрате реда 5, ове три методе дају потпуни попис броја магичних квадрата који се могу конструисати методом суперпозиције. Занемарујући ротацију и рефлексије, укупан број магичних квадрата реда 5 произведених методом суперпозиције је 144 + 3.600 + 2.880 = 6.624.

Парни квадрати: На овај начин такође можемо конструисати квадрате парног реда. Пошто не постоји средњи члан међу грчким и латиничним словима за квадрате парног реда, поред прва два ограничења, да би збирови дијагонала дали магичну константу, сва слова у абецеди треба да се појаве на главној дијагонали и на споредној дијагонали.

Пример квадрата 4×4 је дат у наставку. За дату главну и споредну дијагоналу у грчком квадрату, остале ћелије могу бити попуњене коришћењем услова да се свако слово појави само једном у реду и колони. Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-break

α			δ
	δ	α
	γ	β
β			γ

α	β	γ	δ
γ	δ	α	β
δ	γ	β	α
β	α	δ	γ

a	b	c	d
d	c	b	a
b	a	d	c
c	d	a	b

αa	βb	γc	δd
γd	δc	αb	βa
δb	γa	βd	αc
βc	αd	δa	γb

1	6	11	16
12	15	2	5
14	9	8	3
7	4	13	10

Користећи ова два грчко-латинска квадрата, можемо конструисати 2 × 4! × 4! = 1.152 магична квадрата. Дељењем са 8 да бисмо елиминисали еквивалентне квадрате услед ротације и рефлексија, добијамо 144 суштински различита магична квадрата реда 4. Ово су једини магични квадрати који се могу конструисати Ојлеровом методом, пошто постоје само два међусобно ортогонална двоструко дијагонална грчко-латинска квадрата реда 4.

Слично, магични квадрат 8×8 може бити конструисан као испод. Овде редослед појављивања бројева није важан; међутим, квадранти имитирају образац распореда грчко-латинских квадрата 4×4. Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-break

0	8	16	24	32	40	48	56
24	16	8	0	56	48	40	32
48	56	32	40	16	24	0	8
40	32	56	48	8	0	24	16
56	48	40	32	24	16	8	0
32	40	48	56	0	8	16	24
8	0	24	16	40	32	56	48
16	24	0	8	48	56	32	40

1	2	3	4	5	6	7	8
3	4	1	2	7	8	5	6
5	6	7	8	1	2	3	4
7	8	5	6	3	4	1	2
4	3	2	1	8	7	6	5
2	1	4	3	6	5	8	7
8	7	6	5	4	3	2	1
6	5	8	7	2	1	4	3

1	10	19	28	37	46	55	64
27	20	9	2	63	56	45	38
53	62	39	48	17	26	3	12
47	40	61	54	11	4	25	18
60	51	42	33	32	23	14	5
34	41	52	59	6	13	24	31
16	7	30	21	44	35	58	49
22	29	8	15	50	57	36	43

Ојлерова метода је довела до проучавања грчко-латинских квадрата. Ојлерова метода за конструисање магичних квадрата важи за било који ред осим 2 и 6.

Варијације: Магични квадрати конструисани од међусобно ортогоналних двоструко дијагоналних грчко-латинских квадрата су занимљиви сами по себи јер магично својство произилази из релативне позиције слова у квадрату, а не услед било каквог аритметичког својства вредности која им је додељена. Ово значи да можемо доделити било коју вредност словима таквих квадрата и ипак добити магични квадрат. Ово је основа за конструисање квадрата који приказују неке информације (нпр. рођендане, године, итд.) у квадрату и за креирање „реверзибилних квадрата”. На пример, можемо приказати број π ≈ Шаблон:Val у доњем реду магичног квадрата 4×4 користећи грчко-латински квадрат дат изнад тако што ћемо доделити (α, β, γ, δ) = (10, 0, 90, 15) и (a, b, c, d) = (0, 2, 3, 4). Добићемо следећи ненормални магични квадрат са магичним збиром 124:

10	2	93	19
94	18	12	0
17	90	4	13
3	14	15	92

Нарајана-де Ла Ирова метода за парне редове

Нарајана-де Ла Ирова метода за непарни квадрат је иста као и Ојлерова. Међутим, за парне квадрате, одбацујемо други захтев да се свако грчко и латинично слово појави само једном у датом реду или колони. Ово нам омогућава да искористимо чињеницу да је збир аритметичке прогресије са парним бројем чланова једнак збиру два супротна симетрична члана помноженом са половином укупног броја чланова. Тако, приликом конструисања грчких или латинских квадрата,

• за квадрате парног реда, слово се може појавити n/2 пута у колони, али само једном у реду, или обрнуто.

Као радни пример, ако узмемо квадрат 4×4, где грчки и латинични чланови имају вредности (α, β, γ, δ) = (0, 4, 8, 12) и (a, b, c, d) = (1, 2, 3, 4), респективно, онда имамо α + β + γ + δ = 2 (α + δ) = 2 (β + γ). Слично, a + b + c + d = 2 (a + d) = 2 (b + c). Ово значи да се комплементарни пар α и δ (или β и γ) може појавити два пута у колони (или реду) и ипак дати жељени магични збир. Дакле, можемо конструисати:

• За квадрате парног реда, грчки магични квадрат се прави тако што се прво поставе грчка слова дуж главне дијагонале у неком редоследу. Споредна дијагонала се затим попуњава у истом редоследу или бирањем чланова који су комплементарни члановима на главној дијагонали. На крају, преостале ћелије се попуњавају по колонама. У датој колони користимо комплементарне чланове у дијагоналним ћелијама које пресеца та колона, пазећи да се појаве само једном у датом реду, али n/2 пута у датој колони. Латински квадрат се добија превртањем или ротирањем грчког квадрата и заменом одговарајућих слова. Коначни магични квадрат се добија сабирањем грчког и латинског квадрата.

У примеру датом у наставку, главна дијагонала (од горње леве до доње десне) је попуњена низом уређеним као α, β, γ, δ, док је споредна дијагонала (од доње леве до горње десне) попуњена у истом редоследу. Преостале ћелије се затим попуњавају по колонама тако да се комплементарна слова појављују само једном унутар реда, али два пута унутар колоне. У првој колони, пошто се α појављује у 1. и 4. реду, преостале ћелије се попуњавају његовим комплементарним чланом δ. Слично, празне ћелије у 2. колони се попуњавају са γ; у 3. колони са β; и у 4. колони са α. Свако грчко слово се појављује само једном дуж редова, али два пута дуж колона. Као такви, збирови редова су α + β + γ + δ, док су збирови колона или 2 (α + δ) или 2 (β + γ). Исто важи и за латински квадрат, који се добија превртањем грчког квадрата дуж главне дијагонале и заменом одговарајућих слова. Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-break

α			δ
	β	γ
	β	γ
α			δ

α	γ	β	δ
δ	β	γ	α
δ	β	γ	α
α	γ	β	δ

a	d	d	a
c	b	b	c
b	c	c	b
d	a	a	d

αa	γd	βd	δa
δc	βb	γb	αc
δb	βc	γc	αb
αd	γa	βa	δd

1	12	8	13
15	6	10	3
14	7	11	2
4	9	5	16

Горњи пример објашњава зашто „укрштена” метода за двоструко парни магични квадрат функционише. Други могући магични квадрат 4×4, који је такође пан-дијагонални као и најсавршенији, конструисан је испод коришћењем истог правила. Међутим, дијагонални низ је одабран тако да се сва четири слова α, β, γ, δ појављују унутар централног потквадрата 2×2. Преостале ћелије се попуњавају по колонама тако да се свако слово појављује само једном унутар реда. У 1. колони, празне ћелије треба да буду попуњене једним од слова изабраних из комплементарног пара α и δ. С обзиром на 1. колону, унос у 2. реду може бити само δ јер се α већ налази у 2. реду; док, у 3. реду унос може бити само α јер је δ већ присутно у 3. реду. Настављамо слично док све ћелије не буду попуњене. Латински квадрат дат испод добијен је превртањем грчког квадрата дуж главне дијагонале и заменом грчких слова одговарајућим латиничним словима. Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-break

α			γ
	γ	α
	β	δ
δ			β

α	β	δ	γ
δ	γ	α	β
α	β	δ	γ
δ	γ	α	β

a	d	a	d
b	c	b	c
d	a	d	a
c	b	c	b

αa	βd	δa	γd
δb	γc	αb	βc
αd	βa	δd	γa
δc	γb	αc	βb

1	8	13	12
14	11	2	7
4	5	16	9
15	10	3	6

Овај приступ можемо користити и за конструкцију једноструко парних магичних квадрата. Међутим, у овом случају морамо бити опрезнији пошто критеријум јединственог упаривања грчких и латиничних слова није аутоматски задовољен. Кршење овог услова доводи до неких недостајућих бројева у коначном квадрату, док се други дуплирају. Дакле, овде постоји важан услов:

• За једноструко парне квадрате, у грчком квадрату проверите ћелије колона које су вертикално упарене са својим комплементом. У таквом случају, одговарајућа ћелија латинског квадрата мора садржати исто слово као њена хоризонтално упарена ћелија.

Испод је приказана конструкција магичног квадрата 6×6, где су директно дати бројеви, а не слова. Други квадрат је конструисан превртањем првог квадрата дуж главне дијагонале. Овде у првој колони коренског квадрата 3. ћелија је упарена са својим комплементом у 4. ћелији. Тако, у примарном квадрату, бројеви у 1. и 6. ћелији 3. реда су исти. Исто важи и за друге колоне и редове. У овом примеру преврнута верзија коренског квадрата задовољава овај услов. Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-break

0	24	18	12	6	30
30	6	12	18	24	0
0	24	12	18	6	30
30	24	12	18	6	0
30	6	18	12	24	0
0	6	18	12	24	30

1	6	1	6	6	1
5	2	5	5	2	2
4	3	3	3	4	4
3	4	4	4	3	3
2	5	2	2	5	5
6	1	6	1	1	6

1	30	19	18	12	31
35	8	17	23	26	2
4	27	15	21	10	34
33	28	16	22	9	3
32	11	20	14	29	5
6	7	24	13	25	36

Још један пример магичног квадрата 6×6 конструисаног на овај начин дат је испод. Овде су дијагонални уноси распоређени другачије. Примарни квадрат је конструисан превртањем коренског квадрата око главне дијагонале. У другом квадрату услов за једноструко парни квадрат није задовољен, што доводи до ненормалног магичног квадрата (трећи квадрат) где су бројеви 3, 13, 24 и 34 дуплирани, док недостају бројеви 4, 18, 19 и 33. Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-break

6	30	12	18	0	24
24	0	12	18	30	6
24	0	18	12	30	6
6	30	18	12	0	24
24	0	18	12	30	6
6	30	12	18	0	24

2	5	5	2	5	2
6	1	1	6	1	6
3	3	4	4	4	3
4	4	3	3	3	4
1	6	6	1	6	1
5	2	2	5	2	5

8	35	17	20	5	26
30	1	13	24	31	12
27	3	22	16	34	9
10	34	21	15	3	28
25	6	24	13	36	7
11	32	14	23	2	29

Последњи услов је помало произвољан и можда неће увек морати да се позива, као у овом примеру, где је у коренском квадрату свака ћелија вертикално упарена са својим комплементом: Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-break

6	30	12	24	18	0
6	0	18	24	12	30
24	0	12	6	18	30
6	30	18	24	12	0
24	30	12	6	18	0
24	0	18	6	12	30

2	2	5	2	5	5
6	1	1	6	6	1
3	4	3	4	3	4
5	5	2	5	2	2
4	3	4	3	4	3
1	6	6	1	1	6

8	32	17	26	23	5
12	1	19	30	18	31
27	4	15	10	21	34
11	35	20	29	14	2
28	33	16	9	22	3
25	6	24	7	13	36

Као још један пример, генерисали смо магични квадрат 8×8. За разлику од укрштеног обрасца из ранијег одељка за равномерно парни квадрат, овде имамо шаховски образац за измењене и неизмењене ћелије. Такође, у сваком квадранту непарни и парни бројеви се појављују у наизменичним колонама. Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-break

0	48	16	32	24	40	8	56
56	8	40	24	32	16	48	0
0	48	16	32	24	40	8	56
56	8	40	24	32	16	48	0
56	8	40	24	32	16	48	0
0	48	16	32	24	40	8	56
56	8	40	24	32	16	48	0
0	48	16	32	24	40	8	56

1	8	1	8	8	1	8	1
7	2	7	2	2	7	2	7
3	6	3	6	6	3	6	3
5	4	5	4	4	5	4	5
4	5	4	5	5	4	5	4
6	3	6	3	3	6	3	6
2	7	2	7	7	2	7	2
8	1	8	1	1	8	1	8

1	56	17	40	32	41	16	57
63	10	47	26	34	23	50	7
3	54	19	38	30	43	14	59
61	12	45	28	36	21	42	5
60	13	44	29	37	20	53	4
6	51	22	35	27	46	11	62
58	15	42	31	39	18	55	2
8	47	24	33	25	48	9	64

Варијације: Могућ је низ варијација основне идеје: комплементарни пар се може појавити n/2 пута или мање у колони. То јест, колона грчког квадрата се може конструисати коришћењем више од једног комплементарног пара. Ова метода нам омогућава да магичном квадрату удахнемо далеко богатија својства. Идеја се такође може проширити на дијагонале. Пример магичног квадрата 8×8 дат је у наставку. У завршеном квадрату сваки од четири квадранта је такође пан-магични квадрат, при чему сваки квадрант има исту магичну константу 130. Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-break

0	48	56	8	16	32	40	24
56	8	0	48	40	24	16	32
0	48	56	8	16	32	40	24
56	8	0	48	40	24	16	32
48	0	8	56	32	16	24	40
8	56	48	0	24	40	32	16
48	0	8	56	32	16	24	40
8	56	48	0	24	40	32	16

1	8	1	8	7	2	7	2
7	2	7	2	1	8	1	8
8	1	8	1	2	7	2	7
2	7	2	7	8	1	8	1
3	6	3	6	5	4	5	4
5	4	5	4	3	6	3	6
6	3	6	3	4	5	4	5
4	5	4	5	6	3	6	3

1	56	57	16	23	34	47	26
63	10	7	50	41	32	17	40
8	49	64	9	18	39	42	31
58	15	2	55	48	25	24	33
51	6	11	62	37	20	29	44
13	60	53	4	27	46	35	22
54	3	14	59	36	21	28	45
12	61	52	5	30	43	38	19

Метода ивица

Метода ивичења за ред 3

У овој методи, циљ је омотати ивицу око мањег магичног квадрата који служи као језгро. Размотримо квадрат 3×3 на пример. Одузимањем средњег броја 5 од сваког броја 1, 2, ..., 9, добијамо 0, ±1, ±2, ±3 и ±4, које ћемо, у недостатку бољих речи, пратећи С. Харија Вајта (енгл. S. Harry White), називати бројевима костију. Магична константа магичног квадрата, који ћемо називати квадрат скелета, направљеног од ових бројева костију биће нула јер сабирање свих редова магичног квадрата даје Шаблон:Nowrap; дакле Шаблон:Nowrap.

Није тешко тврдити да средњи број треба да буде смештен у централну ћелију: нека је x број смештен у средњу ћелију, тада збир средње колоне, средњег реда и две дијагонале даје Шаблон:Nowrap. Пошто је Шаблон:Nowrap, имамо Шаблон:Nowrap. Овде је Шаблон:Nowrap, па је Шаблон:Nowrap.

Стављајући средњи број 0 у централну ћелију, желимо да конструишемо ивицу тако да резултујући квадрат буде магичан. Нека ивица буде дата као:

u	a	v
bШаблон:Sup	0	b
vШаблон:Sup	aШаблон:Sup	uШаблон:Sup

Пошто збир сваког реда, колоне и дијагонала мора бити константа (која је нула), имамо

a + aШаблон:Sup = 0,

b + bШаблон:Sup = 0,

u + uШаблон:Sup = 0,

v + vШаблон:Sup = 0.

Сада, ако смо изабрали a, b, u и v, онда имамо aШаблон:Sup = −a, bШаблон:Sup = −b, uШаблон:Sup = −u и vШаблон:Sup = −v. Ово значи да ако доделимо дати број променљивој, рецимо a = 1, онда ће његов комплемент бити додељен њој одговарајућој променљивој aШаблон:Sup, тј. aШаблон:Sup = −1. Дакле, од осам непознатих променљивих, довољно је одредити вредност само четири променљиве. Сматраћемо a, b, u и v независним променљивим, док су aШаблон:Sup, bШаблон:Sup, uШаблон:Sup и vШаблон:Sup зависне променљиве. Ово нам омогућава да број кости ±x посматрамо као један број без обзира на предзнак јер (1) његово додељивање датој променљивој, рецимо a, аутоматски подразумева да ће исти број са супротним предзнаком бити подељен са њеним комплементом aШаблон:Sup, и (2) две независне променљиве, рецимо a и b, не могу имати исти број кости. Али како да изаберемо a, b, u и v? Имамо збир горњег реда и збир десне колоне као

u + a + v = 0,

v + b + uШаблон:Sup = 0.

Пошто је 0 паран број, постоје само два начина на која ће збир три цела броја дати паран број: 1) ако су сва три била парна, или 2) ако су два била непарна, а један паран. Пошто у нашем избору бројева имамо само два парна броја различита од нуле (±2 и ±4), прва тврдња је нетачна. Стога, мора бити случај да је друга тврдња тачна: да су два броја непарна, а један паран.

Једини начин на који обе горенаведене две једначине могу истовремено задовољити овај услов парности, а да и даље буду у складу са скупом бројева који имамо, јесте када су u и v непарни. Јер у супротном, да смо претпоставили да су u и a непарни и v паран у првој једначини, онда ће uШаблон:Sup = −u бити непаран у другој једначини, чинећи и b непарним, како би се задовољио услов парности. Али ово захтева три непарна броја (u, a и b), што је у супротности са чињеницом да имамо само два непарна броја (±1 и ±3) које можемо да користимо. Ово доказује да непарни бројеви костију заузимају угаоне ћелије. Када се претворе у нормалне бројеве додавањем броја 5, ово имплицира да су сви углови магичног квадрата 3×3 заузети парним бројевима.

Тако, узимајући u = 1 и v = 3, имамо a = −4 и b = −2. Стога, завршени квадрат скелета биће као на левој страни. Додавањем броја 5 сваком броју добијамо завршени магични квадрат.

1	−4	3
2	0	−2
−3	4	−1

6	1	8
7	5	3
2	9	4

Сличан аргумент се може користити за конструисање већих квадрата. Пошто не постоји магични квадрат 2×2 око којег можемо омотати ивицу да бисмо конструисали магични квадрат 4×4, следећи најмањи ред за који можемо конструисати оивичени квадрат је ред 5.

Метода ивичења за ред 5

Размотримо квадрат петог реда. За ово имамо магично језгро 3×3, око којег ћемо омотати магичну ивицу. Бројеви костију који ће се користити биће ±5, ±6, ±7, ±8, ±9, ±10, ±11 и ±12. Занемарујући предзнаке, имамо 8 бројева костију, од којих су 4 парна, а 4 непарна. Уопштено, за квадрат било ког реда n, биће 4(n − 1) ћелија ивице, које треба попунити помоћу 2(n − 1) бројева костију. Нека магична ивица буде дата као

u	a	b	c	v
dШаблон:Sup				d
eШаблон:Sup				e
fШаблон:Sup				f
vШаблон:Sup	aШаблон:Sup	bШаблон:Sup	cШаблон:Sup	uШаблон:Sup

Као и раније, требало би

• да поставимо број кости и његов комплемент један наспрам другог, тако да магични збир буде нула.

Довољно је одредити бројеве u, v, a, b, c, d, e, f да би се описала магична ивица. Као и пре, имамо две једначине ограничења за горњи ред и десну колону:

u + a + b + c + v = 0

v + d + e + f + u* = 0.

Могућа су вишеструка решења. Стандардна процедура је да

• се прво покушају одредити угаоне ћелије, након чега ћемо покушати одредити остатак ивице.

Постоји 28 начина да се изаберу два броја из скупа од 8 бројева костију за угаоне ћелије u и v. Међутим, нису сви парови прихватљиви. Међу 28 парова, 16 парова је направљено од једног парног и једног непарног броја, 6 парова има оба као парне бројеве, док 6 парова има оба као непарне бројеве.

Можемо доказати да угаоне ћелије u и v не могу имати један паран и један непаран број. То је зато што ако би то било тако, онда ће збирови u + v и v + uШаблон:Sup бити непарни, а пошто је 0 паран број, збирови a + b + c и d + e + f би такође требало да буду непарни. Једини начин да збир три цела броја резултира непарним бројем је када су 1) два од њих парна, а један непаран, или 2) када су сва три непарна. Пошто се претпоставља да су угаоне ћелије непарне и парне, ниједна од ових двеју тврдњи није компатибилна са чињеницом да на располагању имамо само 3 парна и 3 непарна броја костију. Ово доказује да u и v не могу имати различиту парност. Овим се елиминише 16 могућности.

Користећи сличан тип резоновања можемо извући и неке закључке о скуповима {a, b, c} и {d, e, f}. Ако су u и v оба парна, онда оба скупа треба да имају два непарна броја и један паран број. Ако су u и v оба непарна, онда један од скупова треба да има три парна броја док други скуп треба да има један паран број и два непарна броја.

Као радни пример, размотримо случај када су и u и v парна. Шест могућих парова су: (6, 8), (6, 10), (6, 12), (8, 10), (8, 12) и (10, 12). Пошто су збирови u + v и v + uШаблон:Sup парни, збирови a + b + c и d + e + f би такође требало да буду парни. Једини начин да збир три цела броја резултира парним бројем је када су 1) два од њих непарна, а један паран, или 2) када су сва три парна. Чињеница да су две угаоне ћелије парне значи да на располагању имамо само 2 парна броја. Дакле, друга тврдња није компатибилна са овом чињеницом. Стога, мора бити случај да је прва тврдња тачна: два од три броја треба да буду непарна, док један треба да буде паран.

Нека сада a, b, d, e буду непарни бројеви док су c и f парни бројеви. С обзиром на непарне бројеве костију који су нам на располагању: ±5, ±7, ±9 и ±11, њихове разлике се крећу од D = {±2, ±4, ±6} док се њихови збирови крећу од S = {±12, ±14, ±16, ±18, ±20}. Такође је корисно имати табелу њихових збирова и разлика за каснију референцу. Сада, дате угаоне ћелије (u, v), можемо проверити њихову прихватљивост провером да ли збирови u + v + c и v + uШаблон:Sup + f спадају у скуп D или S. Прихватљивост угаоних бројева је неопходан, али не и довољан услов за постојање решења.

На пример, ако узмемо у обзир пар (u, v) = (8, 12), онда је u + v = 20 и v + u* = 6; и имаћемо на располагању ±6 и ±10 парне бројеве костију. Узимајући c = ±6, имамо да је збир u + v + c једнак 26 и 14, у зависности од предзнака ±6 који се узме, при чему ниједан од њих не спада у скупове D или S. Исто тако, узимајући c = ±10, имамо да је збир u + v + c једнак 30 и 10, при чему оба поново не спадају у скупове D или S. Стога пар (8, 12) није прихватљив. Сличним процесом закључивања, можемо искључити и пар (6, 12).

Као још један пример, ако узмемо у обзир пар (u, v) = (10, 12), онда је u + v = 22 и v + uШаблон:Sup = 2; и имаћемо на располагању ± 6 и ± 8 парне бројеве костију. Узимајући c = ±6, имамо да је збир u + v + c једнак 28 и 16. Док 28 не спада у скупове D или S, 16 спада у скуп S. Инспекцијом, откривамо да ако је (a, b) = (−7, − 9), онда је a + b = −16; и задовољиће прву једначину ограничења. Такође, узимајући f = ± 8, имамо да је збир v + uШаблон:Sup + f једнак 10 и -6. Док 10 не спада у скупове D или S, −6 спада у скуп D. Пошто су −7 и −9 већ додељени променљивима a и b, јасно је да је (d, e) = (-5, 11) тако да је d + e = 6; и задовољиће другу једначину ограничења.

Исто тако, узимајући c = ±8, имамо да је збир u + v + c једнак 30 и 14. Док 30 не спада у скупове D или S, 14 спада у скуп S. Инспекцијом, откривамо да ако је (a, b) = (−5, −9), онда је a + b = −14. Такође, узимајући f = ± 6, имамо да је збир v + uШаблон:Sup + f једнак 8 и -4. Док 8 не спада у скупове D или S, −4 спада у скуп D. Јасно је да је (d, e) = (−7, 11) тако да је d + e = 4, и друга једначина ограничења биће задовољена.

Стога је угаони пар (u, v) = (10, 12) прихватљив; и допушта два решења: Шаблон:Tmath и Шаблон:Tmath. Завршени квадрати скелета дати су у наставку. Магични квадрат се добија додавањем броја 13 свакој ћелији.

10	-7	-9	-6	12
5				-5
-11				11
8				-8
-12	7	9	6	-10

23	6	4	7	25
18				8
2				24
21				5
1	20	22	19	3

10	-5	-9	-8	12
7				-7
-11				11
6				-6
-12	5	9	8	-10

23	8	4	5	25
20				6
2				24
19				7
1	18	22	21	3

Користећи сличан процес закључивања, можемо конструисати следећу табелу за вредности u, v, a, b, c, d, e, f изражене као бројеви костију, као што је дато испод. Постоји само 6 могућих избора за угаоне ћелије, што доводи до 10 могућих решења ивице.

u, v	a, b, c	d, e, f
12, 10	-6, -7, -9	-11, 5, 8
12, 10	-5, -8, -9	-11, 6, 7
11, 5	6, -10, -12	-9, 7, 8
10, 6	5, -9, -12	-11, 7, 8
10, 6	7, -11, -12	-9, 5, 8
9, 7	5, -10, -11	-12, 6, 8
9, 7	6, -10, -12	-11, 5, 8
8, 6	7, -10, -11	-12, 5, 9
8, 6	9, -11, -12	-10, 5, 7
7, 5	9, -10, -11	-12, 6, 8

С обзиром на ову групу од 10 ивица, можемо конструисати 10×8×(3!)² = 2.880 суштински различитих оивичених магичних квадрата. Овде су бројеви костију ±5, ..., ±12 били узастопни. Више оивичених квадрата се може конструисати ако бројеви нису узастопни. Ако би се користили и неузастопни бројеви костију, онда постоји укупно 605 магичних ивица. Дакле, укупан број суштински различитих оивичених магичних квадрата петог реда (са узастопним и неузастопним бројевима) је 174.240. Види историју. Број магичних квадрата петог реда који се могу конструисати методом ивичења је око 26 пута већи него методом суперпозиције.

Методе континуираног набрајања

Исцрпно набрајање свих ивица магичног квадрата датог реда, као што је раније урађено, веома је заморно. Као такво, често је пожељно структурирано решење које нам омогућава да конструишемо ивицу за квадрат било ког реда. У наставку дајемо три алгоритма за конструисање ивице за непарне, двоструко парне и једноструко парне квадрате. Ове алгоритме континуираног набрајања открили су у 10. веку арапски учењаци; а њихово најраније сачувано излагање потиче из две расправе које су написали ел Бузџани и ел Антаки, иако они сами нису били проналазачи. Од тада је откривено много више таквих алгоритама.

Квадрати непарног реда: Следећи алгоритам је дао ел Бузџани за конструисање ивице за непарне квадрате. Посебност ове методе је у томе што су за квадрат реда n, два суседна угла бројеви Шаблон:Tmath и Шаблон:Tmath.

Почевши од ћелије изнад доњег левог угла, бројеве стављамо наизменично у леву колону и доњи ред док не дођемо до средње ћелије. Следећи број се уписује у средњу ћелију управо достигнутог доњег реда, након чега попуњавамо ћелију у горњем левом углу, затим средњу ћелију десне колоне, а затим горњи десни угао. Након тога, почевши од ћелије изнад средње ћелије већ попуњене десне колоне, настављамо наизменично постављање бројева у десној колони и горњем реду. Када је половина ћелија ивице попуњена, друга половина се попуњава бројевима комплементарним супротним ћелијама. Наредне унутрашње ивице се попуњавају на исти начин, све док квадрат реда 3 не буде попуњен.

Испод је пример за квадрат 9. реда.

8	80	78	76	75	12	14	16	10
67	22	64	62	61	26	28	24	15
69	55	32	52	51	36	34	27	13
71	57	47	38	45	40	35	25	11
73	59	49	43	41	39	33	23	9
5	19	29	42	37	44	53	63	77
3	17	48	30	31	46	50	65	79
1	58	18	20	21	56	54	60	81
72	2	4	6	7	70	68	66	74

Двоструко парни ред: Следећу методу је дао ел Антаки. Размотримо празну ивицу реда n = 4k где је k ≥ 3. Посебност овог алгоритма је у томе што су суседне угаоне ћелије заузете бројевима n и Шаблон:Tmath.

Почевши од горње леве угаоне ћелије, узастопне бројеве стављамо у групама по четири, први поред угла, други и трећи на дно, а четврти на врх, и тако даље док у горњем реду (искључујући углове) не остане шест празних ћелија. Затим пишемо следећа два броја изнад и следећа четири испод. Затим попуњавамо горње углове, прво леви па десни. Следећи број стављамо испод горњег десног угла у десну колону, а следећи број на другу страну у леву колону. Затим настављамо са постављањем група од четири узастопна броја у две колоне као и раније. Када је половина ћелија ивице попуњена, друга половина се попуњава бројевима комплементарним супротним ћелијама.

Пример испод даје ивицу за квадрат реда 16.

15	1	255	254	4	5	251	250	8	9	10	246	245	244	243	16
240															17
18															239
19															238
237															20
236															21
22															235
23															234
233															24
232															25
26															231
27															230
229															28
228															29
30															227
241	256	2	3	253	252	6	7	249	248	247	11	12	13	14	242

За квадрат реда 8, почињемо директно са шест ћелија.

7	1	2	62	61	60	59	8
56							9
10							55
11							54
53							12
52							13
14							51
57	64	63	3	4	5	6	58

Једноструко парни ред: За једноструко парни ред имамо алгоритам који је дао ел Антаки. Овде су угаоне ћелије заузете бројевима n и n − 1. Испод је пример квадрата 10. реда.

Почните тако што ћете поставити број 1 у доњи ред поред леве угаоне ћелије, а затим поставите број 2 у горњи ред. Након тога, поставите број 3 у доњи ред и окрећите се око ивице у смеру супротном од казаљке на сату постављајући следеће бројеве, док се на десној колони не достигне број n − 2. Следећа два броја се постављају у горње углове (n − 1 у горњи леви угао и n у горњи десни угао). Затим, следећа два броја се постављају на леву колону, након чега настављамо са цикличним постављањем бројева док се не попуни половина свих ћелија ивице. Када је половина ћелија ивице попуњена, друга половина се попуњава бројевима комплементарним супротним ћелијама.

9	100	2	98	5	94	88	15	84	10
83									18
16									85
87									14
12									89
11									90
93									8
6									95
97									4
91	1	99	3	96	7	13	86	17	92

Метода композиције

За квадрате реда m × n где је m, n > 2

Ово је метода која подсећа на Кронекеров производ две матрице, која гради магични квадрат nm × nm из магичног квадрата n × n и магичног квадрата m × m. „Производ” два магична квадрата ствара магични квадрат вишег реда од два фактора. Нека два магична квадрата буду реда m и n. Коначни квадрат ће бити реда m × n. Поделите квадрат реда m × n на потквадрате m × m, тако да постоји укупно n² таквих потквадрата. У квадрату реда n, смањите за 1 вредност свих бројева. Помножите ове смањене вредности са m² и ставите резултате у одговарајуће потквадрате целог квадрата m × n. Квадрати реда m се сабирају n² пута потквадратима коначног квадрата. Посебност ове методе конструкције је да ће сваки магични потквадрат имати различите магичне збирове. Квадрат направљен од таквих магичних збирова из сваког магичног потквадрата ће поново бити магични квадрат. Најмањи сложени магични квадрат реда 9, састављен од два квадрата реда 3, дат је у наставку.

Ред 3

8	1	6
3	5	7
4	9	2

Ред 3×3

63	63	63	0	0	0	45	45	45
63	63	63	0	0	0	45	45	45
63	63	63	0	0	0	45	45	45
18	18	18	36	36	36	54	54	54
18	18	18	36	36	36	54	54	54
18	18	18	36	36	36	54	54	54
27	27	27	72	72	72	9	9	9
27	27	27	72	72	72	9	9	9
27	27	27	72	72	72	9	9	9

Ред 3×3

71	64	69	8	1	6	53	46	51
66	68	70	3	5	7	48	50	52
67	72	65	4	9	2	49	54	47
26	19	24	44	37	42	62	55	60
21	23	25	39	41	43	57	59	61
22	27	20	40	45	38	58	63	56
35	28	33	80	73	78	17	10	15
30	32	34	75	77	79	12	14	16
31	36	29	76	81	74	13	18	11

Пошто се сваки од потквадрата 3×3 може независно ротирати и пресликавати у 8 различитих квадрата, из овог једног сложеног квадрата 9×9 можемо извести 8⁹ = 134.217.728 суштински различитих сложених квадрата 9×9. Много више сложених магичних квадрата се такође може извести ако изаберемо неузастопне бројеве у магичним потквадратима, као у Јанг Хуејовој верзији сложеног магичног квадрата 9×9. Следећи најмањи сложени магични квадрати реда 12, састављени од магичних квадрата реда 3 и 4, дати су испод.

Ред 3

2	9	4
7	5	3
6	1	8

Ред 4

1	14	11	8
12	7	2	13
6	9	16	3
15	4	5	10

Ред 3 × 4

2	9	4	119	126	121	92	99	94	65	72	67
7	5	3	124	122	120	97	95	93	70	68	66
6	1	8	123	118	125	96	91	98	69	64	71
101	108	103	56	63	58	11	18	13	110	117	112
106	104	102	61	59	57	16	14	12	115	113	111
105	100	107	60	55	62	15	10	17	114	109	116
47	54	49	74	81	76	137	144	139	20	27	22
52	50	48	79	77	75	142	140	138	25	23	21
51	46	53	78	73	80	141	136	143	24	19	26
128	135	130	29	36	31	38	45	40	83	90	85
133	131	129	34	32	30	43	41	39	88	86	84
132	127	134	33	28	35	42	37	44	87	82	89

Ред 4 × 3

17	30	27	24	129	142	139	136	49	62	59	56
28	23	18	29	140	135	130	141	60	55	50	61
22	25	32	19	134	137	144	131	54	57	64	51
31	20	21	26	143	132	133	138	63	52	53	58
97	110	107	104	65	78	75	72	33	46	43	40
108	103	98	109	76	71	66	77	44	39	34	45
102	105	112	99	70	73	80	67	38	41	48	35
111	100	101	106	79	68	69	74	47	36	37	42
81	94	91	88	1	14	11	8	113	126	123	120
92	87	82	93	12	7	2	13	124	119	114	125
86	89	96	83	6	9	16	3	118	121	128	115
95	84	85	90	15	4	5	10	127	116	117	122

За основне квадрате, постоји само један суштински различит квадрат 3. реда, док постоји 880 суштински различитих квадрата 4. реда које можемо изабрати. Свако упаривање може произвести два различита сложена квадрата. Пошто се сваки магични потквадрат у сваком сложеном квадрату може изразити у 8 различитих облика услед ротација и рефлексија, на овај начин се може креирати 1×880×8⁹ + 880×1×8¹⁶ ≈ 2,476×10¹⁷ суштински различитих сложених магичних квадрата формата 12×12, са узастопним бројевима у сваком потквадрату. Уопштено, ако постоји c_m и c_n суштински различитих магичних квадрата реда m и n, онда можемо формирати c_m × c_n × ( 8^m2 + 8ⁿ²) сложених квадрата реда mn, под условом да је m ≠ n. Ако је m = n, онда можемо формирати (c_m)² × 8^m2 сложених квадрата реда m².

За квадрате двоструко парног реда

Када су квадрати двоструко парног реда, можемо конструисати сложени магични квадрат на начин који је елегантнији од горенаведеног процеса, у смислу да ће сваки магични потквадрат имати исту магичну константу. Нека је n ред главног квадрата, а m ред једнаких потквадрата. Потквадрати се попуњавају један по један, у било ком редоследу, непрекидним низом од m²/2 мањих бројева (тј. бројева мањих или једнаких n²/2) заједно са њиховим комплементима до n² + 1. Сваки потквадрат у целини даће исти магични збир. Предност ове врсте сложеног квадрата је у томе што се сваки потквадрат попуњава на исти начин и њихов распоред је произвољан. Тако ће познавање једне конструкције парног реда бити довољно да се попуни цео квадрат. Штавише, ако се потквадрати попуне у природном редоследу, онда ће резултујући квадрат бити пандијагоналан. Магични збир потквадрата повезан је са магичним збиром целог квадрата формулом $M_m=\frac{M_n}{k}$ где је n = km.

У примерима испод, поделили смо квадрат 12. реда на девет потквадрата реда 4, од којих је сваки попуњен са осам мањих бројева и, у одговарајућим ловачким ћелијама (две ћелије дијагонално преко, укључујући преклапање на ивицама, у потквадрату 4×4), њиховим комплементима до n² + 1 = 145. Сваки потквадрат је пандијагоналан са магичном константом 290; док је цео квадрат на левој страни такође пандијагоналан са магичном константом 870.

1	142	139	8	9	134	131	16	17	126	123	24
140	7	2	141	132	15	10	133	124	23	18	125
6	137	144	3	14	129	136	11	22	121	128	19
143	4	5	138	135	12	13	130	127	20	21	122
25	118	115	32	33	110	107	40	41	102	99	48
116	31	26	117	108	39	34	109	100	47	42	101
30	113	120	27	38	105	112	35	46	97	104	43
119	28	29	114	111	36	37	106	103	44	45	98
49	94	91	56	57	86	83	64	65	78	75	72
92	55	50	93	84	63	58	85	76	71	66	77
54	89	96	51	62	81	88	59	70	73	80	67
95	52	53	90	87	60	61	82	79	68	69	74

69	74	79	68	29	114	119	28	61	82	87	60
75	72	65	78	115	32	25	118	83	64	57	86
66	77	76	71	26	117	116	31	58	85	84	63
80	67	70	73	120	27	30	113	88	59	62	81
21	122	127	20	53	90	95	52	13	130	135	12
123	24	17	126	91	56	49	94	131	16	9	134
18	125	124	23	50	93	92	55	10	133	132	15
128	19	22	121	96	51	54	89	136	11	14	129
45	98	103	44	5	138	143	4	37	106	111	36
99	48	41	102	139	8	1	142	107	40	33	110
42	101	100	47	2	141	140	7	34	109	108	39
104	43	46	97	144	3	6	137	112	35	38	105

У другом примеру испод, поделили смо квадрат 12. реда на четири квадрата 6. реда. Сваки од квадрата 6. реда испуњен је са осамнаест малих бројева и њиховим комплементима коришћењем технике ивичења коју је дао ел Антаки. Ако уклонимо осенчене ивице потквадрата 6. реда и формирамо квадрат 8. реда, онда је овај квадрат 8. реда поново магични квадрат. У својој пуној општости, можемо узети било којих m²/2 мањих бројева заједно са њиховим комплементима до n² + 1 да попунимо потквадрате, не нужно у непрекидном низу.

60	82	88	56	90	59	24	118	124	20	126	23
64	69	74	79	68	81	28	33	110	115	32	117
83	75	72	65	78	62	119	111	36	29	114	26
84	66	77	76	71	61	120	30	113	112	35	25
58	80	67	70	73	87	22	116	31	34	109	123
86	63	57	89	55	85	122	27	21	125	19	121
6	136	142	2	144	5	42	100	106	38	108	41
10	15	128	133	14	135	46	51	92	97	50	99
137	129	18	11	132	8	101	93	54	47	96	44
138	12	131	130	17	7	102	48	95	94	53	43
4	134	13	16	127	141	40	98	49	52	91	105
140	9	3	143	1	139	104	45	39	107	37	103

Меџигова метода за квадрате парног реда 2n, где је n > 2

У овој методи, магични квадрат се „множи” са Меџиговим квадратом како би се створио већи магични квадрат. Име ове методе потиче од математичке игре под називом Меџиг (енгл. Medjig) коју је креирао Вилем Баринк (хол. Willem Barink) 2006. године, иако је сама метода много старија.Шаблон:Чињеница Рани пример магичног квадрата конструисаног помоћу ове методе појављује се у Јанг Хуејовом тексту за магични квадрат 6. реда.Шаблон:Чињеница ЛУКС метода за конструисање једноструко парних магичних квадрата је посебан случај Меџигове методе, где се користи само 3 од 24 обрасца за конструкцију Меџиговог квадрата.Шаблон:Чињеница

Делови Меџиг слагалице су квадрати 2×2 на којима су постављени бројеви 0, 1, 2 и 3. Постоје три основна обрасца по којима се бројеви 0, 1, 2 и 3 могу поставити у квадрат 2×2, где је 0 у горњем левом углу:

0	1
2	3

0	1
3	2

0	2
3	1

Сваки образац се може рефлектовати и ротирати да би се добило 8 еквивалентних образаца, што нам даје укупно 3×8 = 24 обрасца. Циљ слагалице је узети n² Меџигових делова и распоредити их у Меџигов квадрат n × n на такав начин да сваки ред, колона, заједно са две главне дијагонале, које формира Меџигов квадрат, у збиру дају 3n, што је магична константа Меџиговог квадрата. Меџигов квадрат n × n може креирати магични квадрат 2n × 2n где је n > 2.

С обзиром на Меџигов квадрат n×n и основу магичног квадрата n×n, магични квадрат реда 2n×2n може се конструисати на следећи начин:

• Свака ћелија магичног квадрата n×n повезана је са одговарајућим потквадратом 2×2 Меџиговог квадрата.
• Попуните сваки потквадрат 2×2 Меџиговог квадрата са четири броја од 1 до 4n² који су једнаки оригиналном броју по модулу n², тј. x+n²y где је x одговарајући број из магичног квадрата, а y је број од 0 до 3 у потквадратима 2×2.

Претпостављајући да имамо почетну основу магичног квадрата, изазов лежи у конструисању Меџиговог квадрата. За референцу, збирови сваког Меџиговог дела дуж редова, колона и дијагонала, означени курзивом, јесу:

1	0	1
5	2	3
3	2	4	3

1	0	1
5	3	2
4	3	3	2

2	0	2
4	3	1
5	3	3	1

Двоструко парни квадрати: Најмањи парно уређени Меџигов квадрат је 2. реда са магичном константом 6. Иако је могуће конструисати Меџигов квадрат 2×2, не можемо из њега конструисати магични квадрат 4×4 пошто магични квадрати 2×2 потребни за његово „множење” не постоје. Ипак, вреди конструисати ове Меџигове квадрате 2×2. Магична константа 6 се може поделити на два дела на три начина као 6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 3 + 3. Постоји 96 таквих Меџигових квадрата 2×2.Шаблон:Чињеница У примерима испод, сваки Меџигов квадрат 2×2 направљен је комбиновањем различитих оријентација једног Меџиговог дела.

Меџиг 2×2

0	1	3	2
2	3	1	0
3	2	0	1
1	0	2	3

Меџиг 2×2

0	1	2	3
3	2	1	0
1	0	3	2
2	3	0	1

Меџиг 2×2

0	2	3	1
3	1	0	2
0	2	3	1
3	1	0	2

Можемо користити Меџигове квадрате 2×2 да бисмо конструисали веће парно уређене Меџигове квадрате. Један могући приступ је једноставно комбиновање Меџигових квадрата 2×2. Друга могућност је да се омота мање језгро Меџиговог квадрата Меџиговом ивицом. Делови Меџиговог квадрата 2×2 могу формирати угаоне делове ивице. Још једна могућност је додавање реда и колоне непарно уређеном Меџиговом квадрату. Пример магичног квадрата 8×8 је конструисан испод комбиновањем четири копије крајњег левог Меџиговог квадрата 2×2 датог изнад:

Ред 4

1	14	4	15
8	11	5	10
13	2	16	3
12	7	9	6

Меџиг 4 × 4

0	1	3	2	0	1	3	2
2	3	1	0	2	3	1	0
3	2	0	1	3	2	0	1
1	0	2	3	1	0	2	3
0	1	3	2	0	1	3	2
2	3	1	0	2	3	1	0
3	2	0	1	3	2	0	1
1	0	2	3	1	0	2	3

Ред 8

1	17	62	46	4	20	63	47
33	49	30	14	36	52	31	15
56	40	11	27	53	37	10	26
24	8	43	59	21	5	42	58
13	29	50	34	16	32	51	35
45	61	18	2	48	64	19	3
60	44	7	23	57	41	6	22
28	12	39	55	25	9	38	54

Следећи пример је конструисан оивичењем језгра Меџиговог квадрата 2×2.

Ред 4

1	14	4	15
8	11	5	10
13	2	16	3
12	7	9	6

Меџиг 4 × 4

0	1	0	1	2	3	3	2
2	3	3	2	1	0	1	0
0	3	0	2	3	1	0	3
1	2	3	1	0	2	1	2
2	1	0	2	3	1	2	1
3	0	3	1	0	2	3	0
3	2	0	1	2	3	0	1
1	0	3	2	1	0	2	3

Ред 8

1	17	14	30	36	52	63	47
33	49	62	46	20	4	31	15
8	56	11	43	53	21	10	58
24	40	59	27	5	37	26	42
45	29	2	34	64	32	35	19
61	13	50	18	16	48	51	3
60	44	7	23	41	57	6	22
28	12	55	39	25	9	38	54

Једноструко парни квадрати: Меџигов квадрат 1. реда не постоји. Као такав, најмањи непарно уређени Меџигов квадрат је 3. реда, са магичном константом 9. Постоји само 7 начина за поделу целог броја 9, наше магичне константе, на три дела.Шаблон:Чињеница Ако ова три дела одговарају трима Меџиговим деловима у реду, колони или дијагонали, онда су релевантне поделе за нас:

9 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 3 + 4 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3.

Меџигов квадрат 3×3 може се конструисати помоћу покушаја и грешака, као у крајњем левом квадрату испод. Други приступ је додавање реда и колоне Меџиговом квадрату 2×2. У средњем квадрату испод, додата је лева колона и доњи ред, чинећи Меџигову ивицу у облику слова L, претходно датом Меџиговом квадрату 2×2. Крајњи десни квадрат испод је у суштини исти као средњи квадрат, осим што су ред и колона додати у средини како би се формирао крст, док су делови Меџиговог квадрата 2×2 постављени у угловима.

Меџиг 3 × 3

2	3	0	2	0	2
1	0	3	1	3	1
3	1	1	2	2	0
0	2	0	3	3	1
3	2	2	0	0	2
0	1	3	1	1	3

Меџиг 3 × 3

0	3	0	1	3	2
2	1	2	3	1	0
3	0	3	2	0	1
2	1	1	0	2	3
0	1	3	1	3	1
2	3	0	2	0	2

Меџиг 3 × 3

0	1	0	3	3	2
2	3	2	1	1	0
3	1	0	1	3	1
0	2	2	3	0	2
3	2	3	0	0	1
1	0	2	1	2	3

Када се конструише Меџигов квадрат 3×3, он се може претворити у магични квадрат 6×6. На пример, користећи крајњи леви Меџигов квадрат 3×3 дат изнад:

Ред 3

8	1	6
3	5	7
4	9	2

Меџиг 3 × 3

2	3	0	2	0	2
1	0	3	1	3	1
3	1	1	2	2	0
0	2	0	3	3	1
3	2	2	0	0	2
0	1	3	1	1	3

Ред 6

26	35	1	19	6	24
17	8	28	10	33	15
30	12	14	23	25	7
3	21	5	32	34	16
31	22	27	9	2	20
4	13	36	18	11	29

Постоји 1.740.800 таквих Меџигових квадрата 3×3. Једноставан приступ конструисању непарних Меџигових квадрата вишег реда јесте омотавање мањег непарног Меџиговог квадрата Меџиговом ивицом, баш као и код парно уређених Меџигових квадрата. Други приступ је додавање реда и колоне парно уређеном Меџиговом квадрату. Такође се могу користити приступи као што је ЛУКС метода. У примеру испод, Меџигов квадрат 5×5 креиран је омотавањем Меџигове ивице око претходно датог Меџиговог квадрата 3×3:

Ред 5

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

Меџиг 5 × 5

0	1	3	1	0	1	3	1	3	2
2	3	0	2	2	3	0	2	1	0
3	0	2	3	0	2	0	2	1	2
1	2	1	0	3	1	3	1	3	0
0	2	3	1	1	2	2	0	1	3
1	3	0	2	0	3	3	1	0	2
3	0	3	2	2	0	0	2	1	2
1	2	0	1	3	1	1	3	3	0
3	2	1	3	1	0	1	3	0	1
1	0	2	0	3	2	2	0	2	3

Ред 10

17	42	99	49	1	26	83	33	90	65
67	92	24	74	51	76	8	58	40	15
98	23	55	80	7	57	14	64	41	66
48	73	30	5	82	32	89	39	91	16
4	54	81	31	38	63	70	20	47	97
29	79	6	56	13	88	95	45	22	72
85	10	87	62	69	19	21	71	28	53
35	60	12	37	94	44	46	96	78	3
86	61	43	93	100	25	27	77	9	34
36	11	68	18	95	75	52	2	59	84

Литература

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book