Исказна алгебра

Дефиниција

Нека су $⊤$ и $⊥$ два различита знака. Уређена шесторка $({⊤, ⊥}, \land, \lor, \Rightarrow, \Leftrightarrow, \neg)$ назива се исказна алгебра ако су $\land, \lor, \Rightarrow, \Leftrightarrow$ бинарне операције скупа ${⊤, ⊥}$ дате таблицама

$\land$	$⊤$	$⊥$
$⊤$	$⊤$	$⊥$
$⊥$	$⊥$	$⊥$

$\lor$	$⊤$	$⊥$
$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊥$	$⊤$	$⊥$

$\Rightarrow$	$⊤$	$⊥$
$⊤$	$⊤$	$⊥$
$⊥$	$⊤$	$⊤$

$\Leftrightarrow$	$⊤$	$⊥$
$⊤$	$⊤$	$⊥$
$⊥$	$⊥$	$⊤$

а $\neg$ унарна операциај дата следећом таблицом

$\neg$
$⊤$	$⊥$
$⊥$	$⊤$

Приоритет операција одговара приоритету логичких везника у исказним формулама.

Свако пресликавање ${⊤, ⊥}^{n} \to {⊤, ⊥}$ назива се n-арна операција исказне алгебре.

Поред наведених операција, у исказној алгебри често се користе и следеће две:

$x ↑ y = \neg (x \land y)$ Шеферова
$x ↓ y = \neg (x \lor y)$ Лукасијевичева

Однос исказних формула и исказне алгебре

Исказне формуле интерпретирамо у исказној алгебри.

Валуација $α$ је пресликавање $V a r \to {⊤, ⊥}$ које исказним словима додељује вредности из скупа ${⊤, ⊥}$ .

Вредност исказне формуле A у валуацији $α$ , у ознаци $υ_{α} (A)$ дефинисана је на следећи начин:

υ_{α} (p_{i}) = α (p_{i})

υ_{α} (A \land B) = υ_{α} (A) \land υ_{α} (B)

υ_{α} (A \lor B) = υ_{α} (A) \lor υ_{α} (B)

υ_{α} (A \Rightarrow B) = υ_{α} (A) \Rightarrow υ_{α} (B)

υ_{α} (A \Leftrightarrow B) = υ_{α} (A) \Leftrightarrow υ_{α} (B)

υ_{α} (\neg A) = \neg υ_{α} (A)

Значи, исказној формули $A (p_{1}, ..., p_{n})$ додељујемо функцију

\bar{A} : {⊤, ⊥}^{n} \to {⊤, ⊥}

за коју важи $A (x_{1}, ..., x_{n}) = υ_{α} (A (p_{1}, ..., p_{n}))$ , где је $α$ валуација за коју важи $α (p_{i}) = x_{i}, i \in {1, 2, ..., n}$ .

Шаблон:Подножје

Исказна алгебра

Дефиниција

Однос исказних формула и исказне алгебре

Мени за навигацију

Претрага