Грамова матрица

У линеарној алгебри, Грамова матрица (или матрица скаларних производа) за уређен скуп вектора (чланова векторског простора) је матрица чији су елементи скаларни производи вектора из датог скупа. Грамове матрице налазе примену у статистици, квантој механици, машинском учењу и другим областима науке и технике. Добила је име по данском математичару Јергену Педерсену Граму.

Дефиниција

Нека је дат уређен скуп вектора -{a = (a₁, ..., a_n)}- из унитарног (или еуклидског) векторског простора -{V(𝔽)}-. Грамова матрица скупа -{a}- је квадратна матрица

$G(a)=(⟨a_i,a_j⟩{)}_{ij},\mathrm{\forall }i,j=1\dots n,$

односно, у развијеној форми, матрица облика

$G(a)=\left(\begin{array}{ccc}⟨a_1,a_1⟩& \cdots & ⟨a_1,a_n⟩\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ ⟨a_n,a_1⟩& \cdots & ⟨a_n,a_n⟩\end{array}\right),$

где је $⟨a_i,a_j⟩$ скаларни производ вектора -{a_i}- и -{a_j}-. Детерминанта матрице -{G(a)}- назива се Грамовом детерминантом скупа -{a}-. Скуп -{a}- је линеарно независан ако и само ако је његова Грамова матрица несингуларна, односно ако је његова Грамова детерминанта различита од нуле.

Види још

• Матрица
• Скаларни производ
• Метрички тензор
• Анализа главних компоненти

Литература

• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Грамове матрице на -{PlanetMath}- Шаблон:Wayback Шаблон:Ен