Вајерштрасова теорема о екстремној вредности

Непрекидна функција на затвореном интервалу има минимум (плаво) и максимум (црвено).

Вајерштрасова теорема о екстремној вредности (Теорема о екстремној вредности) у математичкој анализи тврди да ако је функција -{f(x)}- непрекидна на затвореном интервалу -{[a,b]}-, тада -{f(x)}- има максималну и минималну вредност на том интервалу најмање једном.

То јест, постоје бројеви -{c}-, и -{d}- у интервалу -{[a, b]}-, такви да за свако -{x}- у -{[a, b]}- важи

$f(c)\le f(x)\le f(d).$

Слабија верзија ове теореме је теорема о ограничнеости, која тврди да је -{f(x)}-, ако је непрекидна на затвореном интервалу -{[a, b]}-, ограничена на том интервалу. То јест, постоје бројеви -{l}- и -{L}-, такви да за свако -{x}- у -{[a, b]}- важи

$l\le f(x)\le L.$

Вајерштрасова теорема о екстремној вредности појачава теорему о ограничености тврдњом да не само да је функција ограничена, већ да има и најмању горњу границу као максимум, и највећу доњу границу као минимум.

Вајерштрасова теорема о екстремној вредности се користи у доказу Ролове теореме.

Доказ теореме

Навешћемо доказ за максимум, а доказ за минимум је врло сличан. Такође, треба имати у иду да је цео доказ изведен у контектсту реалних бројева.

Прво доказујемо теорему о ограничености, која је корак у доказивању Вајерштрасове теореме о екстремној вредности. Основни кораци у доказу теореме о екстремној вредности су:

1. Доказати теорему о ограничености.
2. Наћи низ, такав да његова слика конвергира супремуму од -{f}-.
3. Показати да постоји подниз који конвергира тачки унутар домена.
4. Користити непрекидност да се покаже да слика низа конвергира супремуму.

Доказ теореме о ограничености

Претпоставимо да -{f}- није ограничена. Тада, по Архимедовом својству реалних бројева, за свако -{m}-, постоји -{x}- унутар -{[a, b]}- такво да -{f(x) > m}-. Специјално, за свако -{k}- из -{N}-, постоји $x_k$ такво да -{f}-($x_k$) > -{k}-. Ово дефинише низ $x_k$. Како је -{[a, b]}- ограничено, по Болцано-Вајерштрасовој теореми, постоји конвергентан подниз {$x_{n_k}$} од {$x_k$}. Како је -{[a, b]}- затворен, {$x_{n_k}$} конвергира неком -{x}- у -{[a, b]}-. Како је -{f(x)}- непрекидна на -{[a, b]}-, знамо да -{f}-($x_{n_k}$) конвергира ка -{f(x)}-. Али, -{f}-($x_{n_k}$) > $n_k$ > -{k}- за свако -{k}-, што имплицира да -{f}-($x_{n_k}$) дивергира ка бесконачности, што је контрадикција. Следи да је -{f(x)}- ограничена одозго.

Доказ Вајерштрасове теореме о екстремној вредности

Сада ћемо показати да -{f(x)}- има максимум унутар -{[a, b]}-. Према теореми о ограничености, -{f}- је ограничено одогзо, постоји -{c}- најмања горња граница (супремум) од -{f(x)}-. Неопходно је наћи $x_0$ у -{[a, b]}- такво да $c=f(x_0)$. Нека је -{n}- природан број. Како је -{c}- најмања горња граница, $c-1/n$ није горња граница за -{f(x)}-. Стога, постоји $x_n$ у -{[a, b]}- такво да $c-1/n$ < -{f}-($x_n$). Ово дефинише низ {$x_n$}. Како је -{c}- горња граница за -{f(x)}-, $c-1/n$ < -{f}-($x_n$) ≤ -{c}- за свако -{n}-. Стога, {-{f}-($x_n$)} конвергира ка -{c}-.

Болцано-Вајерштрасова теорема нам говори да {$x_{n_k}$} постоји у {$x_n$} такво да {$x_{n_k}$} конвергира неком $x_0$ и, како је -{[a, b]}- затворен, $x_0$ је унутар -{[a, b]}-. Како је -{f(x)}- непрекидна на -{[a, b]}-, {-{f}-($x_{n_k}$)} конвергира ка -{f}-($x_0$). Али, {-{f}-($x_{n_k}$)} је подниз {-{f}-($x_n$)} који конвергира ка -{c}-, па $c=f(x_0)$. Тада је $x_0$ максимум -{f(x)}-.

Примери

Следећи примери показују зашто домен функције мора да буде затворен и ограничен.

Ограничен. -{f(x) = x}- дефиницана на $[0,\mathrm{\infty })$ није ограничена одозго.

Затворен. -{f(x) = x}- дефинисана на [0,1) никад не постиже своју најмању горњу границу, 1.

Тополошка формулација

У општој топологији, Вајерштрасова теорема о екстремној вредности потиче из опште чињенице да је компактност очувана под непрекидношћу, и чињенице да је подскуп реалне праве компактан ако и само ако је и затворен и ограничен.

Спољашње везе

• Доказ теореме о екстремној вредности