Болцано-Вајерштрасова теорема

Болцано-Вајерштрасова теорема за скупове

Дефиниција

• Сваки бесконачан и ограничен скуп у $ℝ$ има бар једну тачку нагомилавања у $ℝ.$

• Сваки бесконачан скуп у $ℝ$ има бар једну тачку нагомилавања у $\overline{ℝ}=ℝ\cup \{+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\}.$

Доказ

• Нека је скуп $A\subset ℝ$ бесконачан и ограничен. Пошто је ограничен, значи да $A\subset I_0$ за неки одсечак $I_0=[a,b].$ Поделимо дати одсечак на два дела, тачком $T_1=\frac{a+b}{2}.$ Пошто је скуп $A$ бесконачан, у бар једном од одсечака $[a,\frac{a+b}{2}]$ и $[\frac{a+b}{2},b]$ ће се наћи бесконачно много чланова скупа $A$. Означимо тај одсечак са $I_1=[a_1,b_1].$ Понављајући тај поступак, добијамо одсечке $I_2$, $I_3$, ..., тј. бесконачни низ уметнутих одсечака $(I_n),$ од којих сваки од ових одсечака садржи бесконачно много елемената скупа $A.$

Из Канторовог принципа уметнутих одсечака, бесконачан низ уметнутих одсечака има непразан пресек, а тај пресек је нека тачка која ће припадати свим одсечцима.

Означимо са $x$ тачку која ће припадати свим одсечцима $(I_n).$

Како Важи:

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})(\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N})(n>n_0\Rightarrow \frac{b-a}{2^n}<ϵ),$ (из аксиоме непрекидности према Архимедовом својству)

што значи да ће за свако произвољно одабрано $ϵ>0,$ постојати довољно велико $n_0,$ тако да ће се сви одсечци почев од $I_{n_0}$ налазити у околини $x-ϵ,x+ϵ$тачке $x,$ а како сваки од тих одсечака има бесконачно много чланова, то се према дефиницији тачке нагомилавања скупа, закључује да је тачка $x$ тачка нагомилавања скупа $A$, што је и требало показати.

• Ако је скуп $A$ ограничен, доказ о постојању његове тачке нагомилавања је управо изведен.

Ако је скуп $A$ неограничен, то се из дефиниције тачака $+\mathrm{\infty }$ и $-\mathrm{\infty }$ закључује да је онда једна од њих тачка нагомилавања скупа $A.$ Тиме је доказ завршен.

Види још

• Тачка нагомилавања скупа
• Канторов принцип уметнутих одсечака

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.