Ајзенштајнов критеријум

У математици, Ајзенштајнов критеријум представља довољан услов да се каже да је неки полином нерастављив над скупом реалних бројева (или еквивалентно, над скупом целих бројева; види Гаусова лема).

Претпоставимо да имамо следећи полином са целобројним коефицијентима.

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0.$

Претпоставимо да постоји прост број -{p}-, такав да

• -{p}- дели сваки -{a_i}- за -{i ≠ n}-
• -{p}- не дели -{a_n}-
• -{p²}- не дели -{a₀}-.

Тада је -{f(x)}- нерастављив.

Примери

Посматрајмо -{g(x) = 3x⁴ + 15x² + 10}-.

Тестирамо просте бројеве -{p}-: за -{p}- = 2, 2 не дели 15 а за -{p}- = 3, 3 не дели 10. Узимање -{p}- = 5 функционише, јер 5 дели 15, коефицијент од -{x}-, и 10, коефицијент уз -{x⁰}-. Такође, 5 не дели 3, водећи коефицијент. Коначно, 25 = 5² не дели 10. Значи, закључујемо да је -{g(x)}- нерастављив.

У неким случајевима није јасно који прост број да се узме, али се то може открити заменом променљиве -{y = x + a}-.

На пример, узмимо -{h(x) = x² + x + 2}-. Ово изгледа тешко, јер ниједан прост број не дели 1, коефицијент уз -{x}-. Али ако заменимо -{h(x)}- са -{h(x + 3) = x² + 7x + 14}- видимо одмах да прост број 7 дели коефицијент уз -{x}- и коефицијент уз -{x⁰}-, и да 49 не дели 14. Тако смо увођењем смене задовољили Ајзенштајнов критеријум.

Шаблон:Нормативна контрола