Ангерова функција

Ангерова функција ${𝐉}_{\nu }(z)$ представља решење нехомогене Беселове диференцијалне једначине:

$z^2{y}^{\prime \prime }+z{y}^{\prime }+(z^2-{\nu }^2)y=(z-\nu )\sin (\pi z)/\pi$

Именована је у част немачкога математичара Карла Теодора Ангера, који је 1855. први увео Ангерову функцију.

Облик

Ангерова функција је облика:

${𝐉}_{\nu }(z)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (\nu \theta -z\sin \theta )d\theta$

Ангерова функција је блиско повезана са Беселовим функцијама.

Веберова функција

Веберова функција ${𝐄}_{\nu }(z)$ представља решење сличне нехомогене Беселове диференцијалне једначине:

$z^2{y}^{\prime \prime }+z{y}^{\prime }+(z^2-{\nu }^2)y=-((z+\nu )+(z-\nu )\cos (\pi z))/\pi .$

Веберова функција је облика:

${𝐄}_{\nu }(z)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (\nu \theta -z\sin \theta )d\theta$

Веза Ангерове и Веберове функције

Између Ангерове и Веберове функције постоји веза:

$\sin (\pi \nu ){𝐉}_{\nu }(z)=\cos (\pi \nu ){𝐄}_{\nu }(z)-{𝐄}_{-\nu }(z)$

$-\sin (\pi \nu ){𝐄}_{\nu }(z)=\cos (\pi \nu ){𝐉}_{\nu }(z)-{𝐉}_{-\nu }(z)$

У случају да је $\nu$ цели број тада Ангерова функција постаје једнака Беселовој функцији, а Веберова функција као комбинација Струвеових функција.

Струвеове функције целобројнога реда могу да се прикажу помоћу Веберових функција E_n и обратно. Ако је n ненегативни цели број онда је:

${𝐄}_n(z)=\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]}\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1/2)(z/2{)}^{n-2k-1}}{\mathrm{\Gamma }(n-1/2-k)}{𝐇}_n$

${𝐄}_{-n}(z)=\frac{(-1{)}^{n+1}}{\pi }\sum _{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]}\frac{\mathrm{\Gamma }(n-k-1/2)(z/2{)}^{-n+2k+1}}{\mathrm{\Gamma }(k+3/2)}{𝐇}_{-n}.$

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Ангерова и Веберова функција