Струвеове функције

Струвеове функције ${𝐇}_{\alpha }(x)$ представљају решења нехомогене Беселове диференцијалне једначине:

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-{\alpha }^2)y=\frac{4{(x/2)}^{\alpha +1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}$

Открио их астроном

Функције су назване према руском астроному Херману Струвеу, који их је открио 1882. да би решио извесне проблеме луминозитета у астрономији. Комплексни број α представља ред Струвеове функције. Модификована Струвеова функција ${𝐋}_{\alpha }(x)$ једнака је $-i{e}^{-i\alpha \pi /2}{𝐇}_{\alpha }(ix)$.

Дефиниција

Хомогено решење Беселове једначине су Беселове функције, а решење нехомогене горенаведене Беселове једначине је Струвеова функција, која развијена у ред има следећи облик:

${𝐇}_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{\mathrm{\Gamma }(m+\frac{3}{2})\mathrm{\Gamma }(m+\alpha +\frac{3}{2})}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha +1}$

где је $\mathrm{\Gamma }(z)$ гама функција.

Модификована Струвеова функција ${𝐋}_{\nu }(z)$ има следећи облик:

${𝐋}_{\nu }(z)={\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu +1}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2}+k)\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2}+k+\nu )}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k}$

Интегрални облик Струвеове функције је:

${𝐇}_{\alpha }(x)=\frac{2{(x/2)}^{\alpha }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}{\int }_0^{\pi /2}\sin (x\cos \tau ){\sin }^{2\alpha }(\tau )d\tau .$

Рекурзивне релације

Струвеове функције задовољавају следеће рекурзивне релације: ${𝐇}_{\alpha -1}(x)+{𝐇}_{\alpha +1}(x)=\frac{2\alpha }{x}{𝐇}_{\alpha }(x)+\frac{{(x/2)}^{\alpha }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{3}{2})}$

${𝐇}_{\alpha -1}(x)-{𝐇}_{\alpha +1}(x)=2\frac{\mathrm{d}{𝐇}_{\alpha }}{\mathrm{d}x}-\frac{{(x/2)}^{\alpha }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{3}{2})}.$

Веза са другим функцијама

Струвеове функције целобројнога реда могу да се прикажу помоћу Веберових функција E_n и обратно. Ако је n ненегативни цели број онда је:

${𝐄}_n(z)=\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]}\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1/2)(z/2{)}^{n-2k-1}}{\mathrm{\Gamma }(n-1/2-k)}{𝐇}_n$

${𝐄}_{-n}(z)=\frac{(-1{)}^{n+1}}{\pi }\sum _{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]}\frac{\mathrm{\Gamma }(n-k-1/2)(z/2{)}^{-n+2k+1}}{\mathrm{\Gamma }(k+3/2)}{𝐇}_{-n}.$

Струвеове функције реда n+1/2 (n је цели број) могу да се изразе преко Беселових функција:

${𝐇}_{-n-1/2}(z)=(-1{)}^n{J}_{n+1/2}(z)$

Струвеове функције могу да се представе и помоћу поопштене хипергеометријске функције:

${𝐇}_{\alpha }(z)=\frac{(z/2{)}^{\alpha +1/2}}{\sqrt{2\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +3/2)}{}_1{F}_2(1,3/2,\alpha +3/2,-z^2/4).$

Асимптотски облик

За велико x добија се асимптотски облик:

${𝐇}_{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)\to \frac{1}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha -1}+O\left({(x/2)}^{\alpha -3}\right)$

где је $Y_{\alpha }(x)$ Беселова функција друге врсте (Нојманова функција).

Литература

• -{Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.}-
• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, Шаблон:ISBN}-
• -{Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. Шаблон:ISBN}-
• Струвеове функције