Аксиома упаривања

У аксиоматској теорији скупова и областима логике, математике, и рачунарства које се њоме користе, аксиома упаривања је једна од аксиома Зермело-Френкел теорије скупова.

Формални исказ

У формалном језику Зермело-Френкел аксиома, аксиома гласи:

$\mathrm{\forall }A\mathrm{\forall }B\mathrm{\exists }C\mathrm{\forall }D[D\in C⟺(D=A\vee D=B)]$

или написано речима:

За било који дати скуп -{A}- и било који скуп -{B}-, постоји скуп -{C}-, такав да, за било који дати скуп -{D}-, -{D}- је члан -{C}- ако и само ако -{D}- је једнако -{A}- или -{D}- је једнако -{B}-.

Или простије речено:

За два дата скупа, постоји скуп чији су елементи управо два дата скупа.

Интерпретација

Ова аксиома заправо каже да за два дата скупа -{A}- и -{B}-, може да се нађе скуп -{C}-, чији су елементи тачно -{A}- и -{B}-. Може да се користи аксиома екстензионалности да се покаже да је овај скуп -{C}- јединствен. Скуп -{C}- се назива паром за -{A}- и -{B}-, и означава се са {-{A}-, -{B}-}. Значи, суштина аксиоме је:

Свака два скупа имају пар.

{-{A}-, -{A}-} се скраћено записује као {-{A}-}, и назива се синглтон који садржи -{A}-. Ваља уочити да је синглтон посебан случај пара.

Аксиома упаривања такође допушта дефиницију уређених парова. За свака два скупа $a$ и $b$, уређени пар се дефинише на следећи начин:

$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}.$

Ова дефиниција задовољава услов

$(a,b)=(c,d)⟺a=c\wedge b=d.$

Уређена -{n}--торка може рекурзивно да се дефинише на следећи начин:

$(a_1,\dots ,a_n)=((a_1,\dots ,a_{n-1}),a_n).$

Не-независност

Аксиома упаривања се генерално сматра неконтроверзном, и она или њен еквивалент се појављује у мање-више свакој алтернативној аксиоматској теорији скупова. Па ипак, у стандардној формулацији Зермело-Френкел теорије скупова, аксиома упаривања следи из шеме аксиома замене примењене на било који дати скуп са два или више елемената, и стога се понекад изоставља. Постојање таквог скупа са два елемента, као што је { {}, { {} } }, може да се дедукује било из аксиоме празног скупа и аксиоме партитивног скупа или из аксиоме бесконачности.

Уопштење

Заједно са аксиомом празног скупа, аксиома упаривања може да се уопшти у следећу шему:

$\mathrm{\forall }{A}_1\dots \mathrm{\forall }{A}_n\mathrm{\exists }C\mathrm{\forall }D[D\in C⟺(D=A_1\vee \cdots \vee D=A_n)]$

то јест:

За било који дати коначни број скупова -{A₁}- до -{A_n}-, постоји скуп -{C}- чији елементи су управо -{A₁}- до -{A_n}-.

Овај скуп -{C}- је такође јединствен по аксиоме екстензионалности, и означава се као {-{A₁,...,A_n}-}.

Наравно, није могуће ригорозно говорити о коначном броју скупова ако претходно није дефинисан (коначан) скуп коме поменути скупови припадају.

Стога ово није један исказ већ шема, са засебним исказом за сваки природан број -{n}-.

• Случај -{n}- = 1 је аксиома упаривања за -{A}- = -{A}-₁ и -{B}- = -{A}-₁.
• Случај -{n}- = 2 је аксиома упаривања за -{A}- = -{A}-₁ и -{B}- = A₂.
• Случајеви -{n}- > 2 могу да се докажу узастопним коришћењем аксиоме упаривања и аксиоме уније.

На пример, како би се доказао случај -{n}- = 3, користи се аксиома упаривања три пута да се произведе пар {-{A}-₁, -{A}-₂}, синглтон {-{A}-₃}, а затим пар {{-{A}-₁,-{A}-₂},{-{A}-₃}}. Аксиома уније затим производи жељени резултат, {-{A}-₁,-{A}-₂,-{A}-₃}. Ова шема може да се прошири да укључује -{n}- = 0 ако се тај случај интерпретира као аксиома празног скупа.

Стога, ова аксиома може да се користи као шема аксиома уместо аксиоме празног скупа и аксиоме упаривања. Међутим, уобичајено је да се аксиома празног скупа и аксиома упаривања користе засебно, а затим да се докаже ово уопштење као шема теорема. Његово усвајање као шеме аксиома не би заменило аксиому уније, која би и даље била потребна за друге ситуације.

Још једна алтернатива

Још једна аксиома која имплицира аксиому упаривања у присуству аксиоме празног скупа гласи:

$\mathrm{\forall }A\mathrm{\forall }B\mathrm{\exists }C\mathrm{\forall }D[D\in C⟺(D\in A\vee D=B)]$.

Узимањем {} за -{A}- а -{x}- за -{B}-, добија се {-{x}-} за -{C}-. Затим се узма {-{x}-} за -{A}- а -{y}- за -{B}-, што даје {-{x, y}-} за -{C}-. Може да се настави са овим и да се изгради било који коначан скуп. И ово може да се користи да се генеришу сви наследно коначни скупови без коришћења аксиоме избора.

Литература

• Шаблон:Cite book. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York. (Springer-Verlag edition).
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book.