Теорема Банаха-Штајнхауса

Теорема Банаха-Штајнхауса или принцип равномерне ограничености је један од основних резултата функционалне анализе, скупа са теоремом Хана-Банаха и теоремом о отвореном пресликавању један од три камена темељца ове области математике. Теорему су 1927. године објавили пољски математичари Стефан Банах и Хуго Штајнхаус; независно од њих доказао ју је и Ханс Хан. Понекад се назива и изворним називом „принцип кондензације сингуларитета“.

Ако је $ℱ$ фамилија равномерно ограничених линеарних пресликавања између два нормирана простора, јасно је да су тада равномерно ограничене и њихове вредности за сваку појединачну вредност аргумента. У свом основном облику, теорема Банаха-Штајнхауса тврди да, ако је домен $ℱ$ Банахов простор, важи и обрнуто: ако су вредности пресликавања из $ℱ$ за сваку појединачну вредност аргумента равномерне ограничене, онда су равномерно ограничене и норме пресликавања из $ℱ$.

Принцип равномерне ограничености

Нека је X Банахов простор и Y нормиран простор. Ако је $ℱ$ фамилија непрекидних линеарних пресликавања из X у Y таква да је

$\sup \{\Vert Tx{\Vert }_Y:T\in ℱ\}<\mathrm{\infty }$

за свако појединачно x у X, тада је

$\sup \{\Vert T{\Vert }_{ℒ(X,Y)}:T\in ℱ\}<\mathrm{\infty }$.

Доказ принципа равномерне ограничености почива на Беровој теореми о категорији. Шаблон:Сакриј

Општији облик

Теорема Банаха-Штајнхауса се може на природан начин уопштити на бачвасте просторе, важну класу тополошких векторских простора:

Нека је X бачваст простор и Y локално конвексан простор. Тада је свака фамилија непрекидних линеарних пресликавања из X у Y ограничена за сваку појединачну вредност аргумента и еквинепрекидна (самим тим и равномерно еквинепрекидна).

Последице

Важна и једноставна последица принципа равномерне ограничености јесте следећа чињеница: Ако је $A_n:X\to Y$ низ непрекидних линеарних пресликавања из Банаховог простора X у нормиран простор Y који конвергира (тачка-по-тачка) ка функцији A, тада је и A непрекидно линеарно пресликавање. И заиста, линеарност следи директним преласком на граничну вредност; низ пресликавања A_n је ограничен за сваку вредност аргумента, те су стога и њихове норме ограничене: тврђење затим следи преласком на граничну вредност у $\Vert A_{n}x\Vert \le C\Vert x\Vert$.

Теорема Банаха-Штајнхауса је од изузетног значаја у функционалној анализи. Заједно са теоремом Банаха-Алоглу, на пример, се користи како би се показало да у локално конвексниим просторима слаба ограниченост повлачи ограниченост, што је полазна тачка за принципе „од слабог ка јаком“, на пример за поређење слабе и јаке диференцијабилности.

Изворни рад

• Шаблон:Fr Стефан Банах, Хуго Штајнхаус. "-{Sur le principle de la condensation de singularités}-". -{Fundamenta Mathematicae}-, 9 50-61, 1927.