Борел-Лебегова лема

Поред назива Борел-Лебегова лема/теорема, алтернативни назив који се користи је и Хајне-Борелова теорема. Лема носи назив по француским математичарима Емилу Борелу и Хенрију Лебегу, односно Едварду Хајнеу.

У специјалном случају, лема описује једно важно својство одсечака реалне праве, док у општем смислу подразумева својство компактности метричких простора.

Дефиниција

Борел-Лебегова лема: Из сваког покривача отвореним интервалима, одсечка реалне праве $[a,b]$, може се издвојити коначан потпокривач.

Доказ

Означимо са $X$ скуп свих оних тачака $x$ за које важи да се одсечак $[a,x]$ може покрити коначним бројем отворених интервала. Тај скуп $X$ очигледно није празан, јер му припада најпре тачка $a$ која према условима тврђења мора припадати неком отвореном интервалу. Потребно је доказати да и тачка $b$ припада скупу $X$.

Пошто скуп $X$ није празан и ограничен је одозго, он мора имати супремум. Нека је $y$ његов супремум. Ако претпостављамо да тачка $b$ не припада том скупу, онда је $x\le y\le b$, те и $y$ припада одсечку $[a,b]$, па као и свака тачка тог сегмента, и $y$ припада неком отвореном интервалу $(\alpha ,\beta )$. Тада за неко $x$ важи: $\alpha \le x\le y$, јер би иначе то $x$ било супремум скупа $X$.

Интервал $(\alpha ,\beta )$ можемо придружити скупу $X$, зато што је могуће и одсечак $[a,y]$ прекрити са коначним бројем отворених интервала. Међутим, ако би било $y\ne b$, тада би се између $y$ и $b$ нашло још чланова скупа $X$ због отворености интервала $(\alpha ,\beta )$, што је у супротности са тиме да је $y$ супремум скупа $X$. Због тога, и $b$ припада скупу $X$, чиме смо доказали да се одсечак $[a,b]$ може прекрити са коначним бројем отворених интервала, што је и тврђење леме.

Види још

• Компактност
• Болцано-Вајерштрасова теорема
• Покривач

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.