Гранична вредност

Гранична вредност је један од основних појмова математичке анализе. Помоћу појма граничне вредности дефинишу се непрекидност, математички изводи и интеграли. Разликују се гранична вредност низа и гранична вредност функције. Гранична вредност описује број коме тежи вредност функције или вредност члана математичког низа, када се аргумент функције или индекс низа приближе некој вредности.^[1]

У математичким формулама гранична вредност се обично означава са -{lim}-, као на пример -{lim(a_n) = a}-, или стрелицом (→), као на пример -{a_n → a}-.

Математичари су интуитивно познавали концепт граничне вредности већ у другој половини XVII века, што се види у радовима Исака Њутна. То је случај и са радовима Ојлера и Лагранжа из XVIII века. Прву строго научну дефиницију граничне вредности дали су Болцано 1816. и Коши 1821. године.

Концепт границе низа је даље генерализован на концепт границе тополошке мреже, и уско је повезан са границом и директном границом у теорији категорија.

У формулама, граница функције се обично пише као

\lim_{x \to c} f (x) = L,

(иако неколико аутора користи „Lt“ уместо „lim“^[2]) и чита се као „граница Шаблон:Math од Шаблон:Mvar како се Шаблон:Mvar приближава Шаблон:Mvar једнака je Шаблон:Math. Чињеница да се функција Шаблон:Math приближава граници Шаблон:Math док се Шаблон:Mvar приближава Шаблон:Mvar се понекад означава са стрелицом надесно (→ или $\to$ ), као у

f (x) \to L as x \to c,

које се чита: „ $f$ од $x$ тежи ка $L$ кад $x$ тежи ка $c$ ”.

Гранична вредност функције

Функције графике показују да када аргумент тежи бесконачности, вредност функције тежи вредности $L$ .

Шаблон:Main

Функција $f (x)$ има граничну вредност $L$ у тачки $x_{0}$ , ако је за све вредности $x$ , довољно блиске тачки $x_{0}$ , вредност $f (x)$ довољно блиска вредности $L$ . Данас се најчешће користи дефиниција граничне вредности функције коју је Карл Вајерштрас формализовао у 19. веку. Она гласи: Нека је -{ƒ}- функција дефинисана на отвореном интервалу који садржи вредност -{c}- (осим можда у самој тачки -{c}-) и нека је -{L}- реалан број. Онда формула

\lim_{x \to c} f (x) = L

значи да за свако реално -{ε}- > 0 постоји реална вредност δ > 0 таква да је за свако x које испуњава услов 0 < |x − c| < δ, имамо да је |-{ƒ(x) − L}-| < ε.^[3]

То се у математичкој нотацији записује као:

\forall ε > 0 \exists δ > 0 : \forall x (0 < | x - c | < δ \Rightarrow | f (x) - L | < ε) .

Огистен Луј Коши је 1821. године,^[4] праћен Карлом Вајерштрасом, формализовао дефиницију границе функције која је постала позната као (ε, δ)-дефиниција границе. Дефиниција користи Шаблон:Mvar (мало грчко слово епсилон) да представи било који мали позитиван број, тако да „Шаблон:Math постаје произвољно близу Шаблон:Math“ што значи да Шаблон:Math на крају лежи у интервалу Шаблон:Math, који се такође може написати коришћењем апсолутне вредности као Шаблон:Math.^[4] Фраза „како се Шаблон:Mvar приближава Шаблон:Mvar“ онда указује да се односи на вредности Шаблон:Mvar, чија је удаљеност од Шаблон:Mvar мања од неког позитивног броја Шаблон:Mvar (мало грчко слово делта)—то јест, вредности Шаблон:Mvar унутар било које Шаблон:Math или Шаблон:Math, што се може изразити са Шаблон:Math. Прва неједнакост значи да је Шаблон:Math, док друга указује да је Шаблон:Mvar унутар удаљености Шаблон:Mvar од Шаблон:Mvar.^[4]

Горња дефиниција границе је тачна чак и ако је Шаблон:Math. Заиста, функција Шаблон:Math не мора бити ни дефинисана на Шаблон:Mvar.

На пример, ако

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

тада Шаблон:Math није дефинисано (види неодређени облик), али како се Шаблон:Mvar креће произвољно близу 1, Шаблон:Math се на одговарајући начин приближава 2:^[5]

Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math
Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math

Дакле, Шаблон:Math се може произвољно приближити граници од 2 - само тако што се Шаблон:Mvar учини довољно близу Шаблон:Math.

Другим речима, $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = 2 .$

Ово се такође може израчунати алгебарски, као $\frac{x^{2} - 1}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = x + 1$ за све реалне бројеве Шаблон:Math.

Сада, пошто је Шаблон:Math континуирано у Шаблон:Mvar на 1, може се унети 1 за Шаблон:Mvar, што доводи до једначине $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = 1 + 1 = 2 .$

Поред лимита на коначним вредностима, функције могу имати и лимите у бесконачности. На пример, размотрите функцију

$f (x) = \frac{2 x - 1}{x}$ где је:

Како Шаблон:Mvar постаје изузетно велико, вредност Шаблон:Math се приближава Шаблон:Math, а вредност Шаблон:Math се може учинити што ближе Шаблон:Math колико се може пожелети – тако што ће Шаблон:Mvar учинити довољно великим. Дакле, у овом случају, лимит Шаблон:Math како се Шаблон:Mvar приближава бесконачности је Шаблон:Math, или у математичкој нотацији,

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 x - 1}{x} = 2 .$

Гранична вредност низа

Шаблон:Main

Размотрите следећи низ: 1,79, 1,799, 1,7999, … Може се приметити да се бројеви „приближавају“ 1,8, граници низа.

Формално, претпоставимо да је Шаблон:Math низ реалних бројева. Може се рећи да је реални број Шаблон:Math граница овог низа, наиме:

\lim_{n \to \infty} a_{n} = L

који се чита као

„Граница a_n када се n приближава бесконачности једнака је L”

ако и само ако

за сваки реалан број Шаблон:Math, постоји природан број Шаблон:Math такав да за свако Шаблон:Math, постоји Шаблон:Math.^[6]

Интуитивно, то значи да се на крају сви елементи низа произвољно приближавају граници, пошто је апсолутна вредност Шаблон:Math растојање између Шаблон:Math и Шаблон:Math. Нема сваки низ лимит; ако има, онда се назива конвергентним, а ако не, онда је дивергентан. Може се показати да конвергентни низ има само једну границу.

Граница низа и граница функције су уско повезани. С једне стране, граница када се Шаблон:Mvar приближава бесконачности низа Шаблон:Math је једноставно лимит у бесконачности функције Шаблон:Math—дефинисане на природним бројевима Шаблон:Math. С друге стране, ако је Шаблон:Math домен функције Шаблон:Math и ако се лимит Шаблон:Mvar приближава бесконачности функције Шаблон:Math као Шаблон:Math за сваки произвољни низ тачака Шаблон:Math у Шаблон:Math који конвергира на Шаблон:Math, тада је лимит функције Шаблон:Math како се Шаблон:Math приближава Шаблон:Math једна Шаблон:Math.^[7] Један такав низ би био Шаблон:Math.

Конвергенција и фиксна тачка

Формална дефиниција конвергенције може се дати на следећи начин. Претпоставимо да $p_{n}$ као $n$ иде од $0$ до $\infty$ јесте низ који конвергира у $p$ , са $p_{n} \neq p$ за свако $n$ . Ако позитивне константе $λ$ и $α$ постоје са

\lim_{n \to \infty} \frac{| p_{n + 1} - p |}{{| p_{n} - p |}^{α}} = λ

онда $p_{n}$ као $n$ иде од $0$ до $\infty$ и конвергира у $p$ реда $α$ , са константом асимптотске грешке $λ$ .

За дату функцију $f$ са фиксном тачком $p$ , постоји контролна листа за проверу конвергенције низа $p_{n}$ .^[8]

Прво треба проверити да ли је p заиста фиксна тачка:
$f (p) = p$
Треба проверити линеарну конвергенцију. Почиње се тако што се проналази $| f^{'} (p) |$ . Ако …

$\| f^{'} (p) \| \in (0, 1)$	онда постоји линеарна конвергенција
$\| f^{'} (p) \| > 1$	серија дивергира
$\| f^{'} (p) \| = 0$	онда постоји барем линеарна конвергенција и можда нешто боље, израз треба проверити за квадратну конвергенцију

Ако се утврди да постоји нешто боље од линеарног, израз треба проверити на квадратну конвергенцију. Почиње се тако што се проналази $| f^{″} (p) |$ ако…

$\| f^{″} (p) \| \neq 0$	онда постоји квадратна конвергенција под условом да је $f^{″} (p)$ континуирана
$\| f^{″} (p) \| = 0$	онда постоји нешто чак и боље од квадратне конвергенције
$\| f^{″} (p) \|$ не постоји	онда постоји конвергенција која је боља од линеарне, али још увек није квадратна

Израчунљивост границе

Ограничења могу бити тешко израчунљива. Постоје гранични изрази чији је модул конвергенције неодлучив. У теорији рекурзије, гранична лема доказује да је могуће кодирати неодлучиве проблеме користећи лимите.^[9]

Референце

Шаблон:Reflist

Литература

Шаблон:Литература

Шаблон:Литература крај

Спољашње везе

Шаблон:Commons category-lat Шаблон:Library resources box

Шаблон:Математичка анализа Шаблон:Нормативна контрола

↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Cite web
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Harvtxt
↑ Numerical Analysis, 8th Edition, Burden and Faires, Section 2.4 Error Analysis for Iterative Methods
↑ Recursively enumerable sets and degrees, Soare, Robert I.

[1] Шаблон:Cite book

[2] Шаблон:Cite book

[3] Шаблон:Cite web

[Larson-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 Шаблон:Cite book

[5] Шаблон:Cite web

[6] Шаблон:Cite web

[7] Шаблон:Harvtxt

[8] Numerical Analysis, 8th Edition, Burden and Faires, Section 2.4 Error Analysis for Iterative Methods

[9] Recursively enumerable sets and degrees, Soare, Robert I.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Гранична вредност

Садржај

Гранична вредност функције

Гранична вредност низа

Конвергенција и фиксна тачка

Израчунљивост границе

Референце

Литература

Спољашње везе

Мени за навигацију

Гранична вредност

Гранична вредност функције

Гранична вредност низа

Конвергенција и фиксна тачка

Израчунљивост границе

Референце

Литература

Спољашње везе

Мени за навигацију

Претрага