Кумерова функција

Кумерова функција или конфлуентна хипергеометријска функција $M(a,b,z)$ представља решење Кумерове диференцијалне једначине:

$z\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+(b-z)\frac{dw}{dz}-aw=0.$

Функција је добила име по немачком математичару Ернсту Кумеру, који је 1837. први увео ту функцију.

Дефиниција

Кумерова функција је решење Кумерове диференцијалне једначине и облика је:

$M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^{(n)}{z}^n}{b^{(n)}n!}={}_1{F}_1(a;b;z)$

где је

$a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)$

Друго решење Кумерове диференцијалне једначине је Трикомијева функција $U(a,b,z)$, која је представљена преко Кумерове функције:

$U(a,b,z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(1-b)}{\mathrm{\Gamma }(a-b+1)}M(a,b,z)+\frac{\mathrm{\Gamma }(b-1)}{\mathrm{\Gamma }(a)}{z}^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).$

Специјални случајеви

Витакерове функције $M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)$ и $W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)$ представљају решења Витакерове диференцијалне једначине и могу се приказати преко Кумерових функција:

$M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp (-z/2)z^{\mu +\frac{1}{2}}M(\mu -\kappa +\frac{1}{2},1+2\mu ;z)$

$W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp (-z/2)z^{\mu +\frac{1}{2}}U(\mu -\kappa +\frac{1}{2},1+2\mu ;z)$

У случају $b=2a$ Кумерова функција се своди на Беселову функцију:

$\begin{array}{cc}{}_1{F}_1(a,2a,x)& =e^{\frac{x}{2}}{}_0{F}_1(;a+\frac{1}{2};\frac{1}{16}{x}^2)\\ & =e^{\frac{x}{2}}{\left(\frac{1}{4}x\right)}^{\frac{1}{2}-a}\mathrm{\Gamma }(a+\frac{1}{2})I_{a-\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}x\right).\end{array}$ и

$U(a,2a,x)=\frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{\pi }}{x}^{\frac{1}{2}-a}{K}_{a-\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{2}\right),$

Својства

Кумерова функција може да се представи преко Лагерових полинома:

$M(a,b,\frac{xy}{x-1})=(1-x{)}^a\cdot \sum _n\frac{a^{(n)}}{b^{(n)}}{L}_n^{(b-1)}(y)x^n$

Трикомијева функција задовољава релацију:

$\begin{array}{cc}U(a,b,z)& =e^{(1-t)z}\sum _{i=0}\frac{(t-1{)}^i{z}^i}{i!}U(a,b+i,zt)=\\ & =e^{(1-t)z}{t}^{b-1}\sum _{i=0}\frac{{(1-\frac{1}{t})}^i}{i!}U(a-i,b-i,zt).\end{array}$

Кумерове функције повезане су Кумеровим трансформацијама:

$M(a,b,z)=e^{z}M(b-a,b,-z)$

$U(a,b,z)=z^{1-b}U(1+a-b,2-b,z)$.

Кумерова функција повезана је релацијом:

$\begin{array}{cc}z\frac{dM}{dz}=z\frac{a}{b}M(a+,b+)& =a(M(a+)-M)\\ & =(b-1)(M(b-)-M)\\ & =(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\ & =z(a-b)M(b+)/b+zM\\ \end{array}$

Трикомијева функција се асимптотски понаша као општа хипергеометријска функција:

$U(a,b,x)\sim x^{-a}{}_2{F}_0(a,a-b+1;;-\frac{1}{x}),$

Интегрална репрезентација

За Re b > Re a > 0, Кумерова функција M може представити помоћу интеграла:

$M(a,b,z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b-a)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{zu}{u}^{a-1}(1-u{)}^{b-a-1}du.$

тако да M представља карактеристичну функцију бета расподеле. За :$\mathrm{re}a>0)$

$U(a,b,z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(a)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-zt}{t}^{a-1}(1+t{)}^{b-a-1}dt$

Могу да се представе и Барнсовим интегралима:

$M(a,b,z)=\frac{1}{2\pi i}\frac{\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(a)}\underset{-i\mathrm{\infty }}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{\Gamma }(-s)\mathrm{\Gamma }(a+s)}{\mathrm{\Gamma }(b+s)}(-z{)}^{s}ds$

Литература

• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0-486-61272-0}-
• Конфлуентна хипергеометријска функција