Квадратни пирамидални број

Геометријско представљање квадратног пирамидалног број 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

Пирамида од канонкугли у Мусе Хисторикуе де Страсбург. Број лопти у пирамиди се може израчунати као пети квадрат пирамидалног броја, 55.

У математици, пирамидални број, или квадратни пирамидални број је фигуративни број који представља број наслаганих сфера у пирамиди са квадратом у основи. Квадратни пирамидални бројеви решавају проблем бројања квадрата у Шаблон:Math мрежи.

Формула

Први нови квадратни пирамидални бројеви су:

Шаблон:Math Шаблон:Math, ...

Ови бројеви се могу написати у формули као

$P_n=\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}.$

Ово је специјални случај Фаулхаберове формуле, и може се доказати математичком индукцијом.Шаблон:Sfn Еквивалентна формула је дата у Фибоначијевом Либер Абачију (1202, ch. II.12).

У савременој математици, фигуративни бројеви се формализују од Ехрхартових полинома. Ехрхартов полином Шаблон:Math полоедра P је полином који пребројава целе поене у копији P који се проширио множењем свих својих координата бројем  t. Ехрхартов полином пирамиде чија је основа јединични квадрат са целим координатама, а чији је врх цео број тачке на висини један изнад базне равни, је Шаблон:Math.

Својства

Једини квадратни пирамидални бројеви у облику n*(n+1)*(n+2)*(n^2+2*n+17)/120 су 0, ±1, ±5 и ±91.

Троугаони бројеви ≤10^30 који су такође квадратни пирамидални бројеви су 0, 1, 55, 91 и 208335. Доказано је одавно да је ова секвенца комплетна.

Такође, квадрати ≤10^30 који су такође квадратни пирамидални бројеви су 0, 1 и 4900. Лукас је претпоставио и G. N. Watson доказао 1918. године да је секвенца комплетна.

Веза са фигуративним бројевима

Квадратни пирамидални бројеви могу бити изражени као суме биномних коефицијената:

$P_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{3}).$

Биномни коефицијенти који се јављају у овој репрезентацији су тетраедски бројеви, и ова формула изражава квадратни пирамидални број као збир два театраедарска броја на исти начин као што су квадратни бројеви суме два узастопна троугаона бројева. У овом збиру, један од два тетраедарска броја рачуна лопте у сложеној пирамиде које су директно изнад или на једној страни дијагонале базе квадрата, а са друге тетраедарски број у износу рачуна лопте које су на другој страни дијагонале. Квадратни пирамидални бројеви су такође повезани са тетраедарским бројевима на другачији начин:

$P_n=\frac{1}{4}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+2}{3}).$

Збир два узастопна квадратна пирамидална броја је октаедарски број.

Повећавајући пирамиду чији ивица базе има n лопти додавањем једног њиховог троугла добијамо тетраедар чија ивица базе има Шаблон:Math лопту даје троугласту призму. Еквивалентно, пирамида се може изразити као резултат одузимања тетраедра из призме. Овај геометријски аорт доводи до још једне везе:

$P_n=n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{3}).$

Осим 1, постоји само једна цифра која је и квадрат и број пирамида: 4900, што је и 70. квадратни број и 24. квадратни пирамидални број. Ову чињеницу је доказао Г. Н. Ватсон 1918. године.

Други однос подразумева Паскалов троугао: Док класични Паскалов тругао са странама (1,1) има дијагонале са природним бројевима, троугаони бројеви, и тетраедарски бројеви, генерисање Фибоначијевих бројева као сума узорковања преко дијагонала, сестра Паскал са странама (2,1) има једнаке дијагонале са непарним бројевима, квадратним бројевима и квадратним пирамидалним бројевима, и генерише (по истој процедури) и Лукасове бројеве, радије него Фибоначијеве.

На исти начин се квадратни пирамидални бројеви могудефинисати као збир узастопних квадрата, квадратни троугласти бројеви се могу дефинисати као збир узастопних кубова.

Квадрати у квадрату

5 од 5 квадратних решетки, са три од својих 55 квадрата су истакнута.

Заједничка математичка загонетка подразумева проналажење броја квадрата у великој n од n квадратне мреже. Овај број може да се изведе на следећи начин:

• Број Шаблон:Math кутија налазе мрежу  Шаблон:Math.
• Број Шаблон:Math кутија налази мрежу Шаблон:Math. Ово се може рачунати бројањем свих могућих горњих левих углова Шаблон:Math кутија.
• Број Шаблон:Math кутија Шаблон:Math налази мрежу Шаблон:Math. Ово се може рачунати бројањем свих могућих горњих левих углова  Шаблон:Math кутија.

Из тога следи да је број квадрата у Шаблон:Math квадратној мрежи:

$n^2+(n-1{)}^2+(n-2{)}^2+(n-3{)}^2+\dots +1^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

То је решење загонетке дато од стране квадратних пирамидалних бројева.

Број правоугаоника у квадратној мрежи дат од стране квадратних троугаоних бројева.

Извођење суме формула

Разлика два узастопна квадрата бројева је увек непаран број. Прецизније, због идентитета Шаблон:Math, разлика између k-тог и Шаблон:Mathтог квадрата броја је Шаблон:Math. Ово доводи до следеће шеме:

$\begin{array}{ccccccccccccccc}0& & 1& & 4& & 9& & 16& & 25& \dots & (n-1{)}^2& & n^2\\ & 1& & 3& & 5& & 7& & 9& & \dots & & 2n-1& \end{array}$

Стога сваки квадратни број може бити написан као сума непарних бројева, који је $n^2=\sum _{i=1}^{n}2i-1$. Ова репрезентација квадратних бројева може да се користи да се изрази збир првих n квадратних бројева непарним бројем распоређеним у троуглу са збиром свих бројева у троуглу једнаким збиру првих n квадратних бројева:

$\begin{array}{ccccccccc}{1}^2=& 1& & & & & & & \\ 2^2=& 1& 3& & & & & & \\ 3^2=& 1& 3& 5& & & & & \\ 4^2=& 1& 3& 5& 7& & & & \\ 5^2=& 1& 3& 5& 7& 9& & & \\ ⋮& ⋮& & & & & \ddots & & \\ (n-1{)}^2=& 1& \cdots & & & & \cdots & 2n-3& \\ n^2=& 1& \cdots & & & & \cdots & 2n-3& 2n-1\end{array}$

Исти непарни бројеви су сада распоређени на два различита начина у подударним троугловима.

$\begin{array}{ccccccc}2n-1& & & & & & \\ 2n-3& 2n-3& & & & & \\ ⋮& & \ddots & & & & \\ 9& \cdots & \cdots & 9& & & & \\ 7& \cdots & \cdots & 7& 7& & & \\ 5& \cdots & \cdots & 5& 5& 5\\ 3& \cdots & \cdots & 3& 3& 3& 3\\ 1& \cdots & \cdots & 1& 1& 1& 1& 1\\ =n^2& =(n-1{)}^2& \cdots & =5^2& =4^2& =3^2& =2^2& =1^2\end{array}$    $\begin{array}{cccccccc}1& & & & & & & \\ 3& 1& & & & & & \\ 5& 3& 1& & & & & \\ 7& 5& 3& 1& & & & \\ 9& 7& 5& 3& 1& & & \\ ⋮& & & & & \ddots & & \\ 2n-3& \cdots & & & & \cdots & 1& \\ 2n-1& 2n-3& & & & \cdots & & 1\\ =n^2& =(n-1{)}^2& \cdots & =5^2& =4^2& =3^2& =2^2& =1^2\end{array}$

Слагање три троугла један на врх јдругог доводи до колоне која се састоји од три броја, који имају својство да је њихов збир увек Шаблон:Math. На сваком врху збир колоне је Шаблон:Math. Сада, ако пређете из једне колоне у другу, онда ће се у једном троуглу број повећати за два, али у другом троуглу ће се смањити за два и остаје исти у трећем троуглу, стога збир колоне остаје константан. Има$1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ таквих колона, па је бир свих бројева у сва три троугла $\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$. То је три пута збир првих n квадратних бројева, тако да следи:

$P_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Види још

• Фигуративни број
• Полигонални број
• Троугаони број

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Шаблон:MathWorld