Uslovna nezavisnost

U teoriji verovatnoće, uslovna nezavisnost opisuje situacije u kojima je posmatranje irelevantno ili suvišno kada se ocenjuje sigurnost hipoteze. Uslovna nezavisnost se obično formuliše u terminima uslovne verovatnoće, kao poseban slučaj gde je verovatnoća hipoteze datog neinformativnog posmatranja jednaka verovatnoći bez njega. Ako je $A$ hipoteza, a $B$ i $C$ su zapažanja, uslovna nezavisnost se može navesti kao jednakost:

$P(A\mid B,C)=P(A\mid C)$

gde je $P(A\mid B,C)$ verovatnoća da je $A$ za dato $B$ i $C$. Pošto je verovatnoća za $A$ za dato $C$ ista kao verovatnoća za $A$ za dato $B$ i $C$, ova jednakost izražava da $B$ ništa ne doprinosi izvestnosti od $A$. U ovom slučaju, kaže se da su $A$ i $B$ uslovno nezavisni za dato $C$, napisano simbolično kao: $(A\perp \perp B\mid C)$. Na jeziku notacije kauzalne jednakosti, opisane su dve funkcije: $f(y)$ i $g(y)$, koje obe zavise od zajedničke promenljive $y$ kao uslovno nezavisne korišćenjem notacije $f\left(y\right)\stackrel{\curvearrowleft \curvearrowright }{=}g\left(y\right)$, što je ekvivalentno notaciji $P(f\mid g,y)=P(f\mid y)$.

Koncept uslovne nezavisnosti je od suštinskog značaja za teorije statističkog zaključivanja zasnovane na grafovima, jer uspostavlja matematičku relaciju između kolekcije uslovnih iskaza i grafoida.

Uslovna nezavisnost događaja

Neka su $A$, $B$, i $C$ događaji. Za $A$ i $B$ se kaže da su uslovno nezavisni za dato $C$ ako i samo ako je $P(C)>0$ i:

$P(A\mid B,C)=P(A\mid C)$

Ovo svojstvo se obično zapisuje kao: $(A\perp \perp B\mid C)$, što se čita kao $((A\perp \perp B)|C)$.

Ekvivalentno, uslovna nezavisnost se može navesti kao:

$P(A,B|C)=P(A|C)P(B|C)$

gde je $P(A,B|C)$ zajednička verovatnoća za $A$ i $B$ za dato $C$. Ova alternativna formulacija navod da su $A$ i $B$ nezavisni događaji, za dato $C$.

To pokazuje da je $(A\perp \perp B\mid C)$ ekvivalentno $(B\perp \perp A\mid C)$.

Dokaz ekvivalentne definicije

$P(A,B\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid C)$

ako je $\frac{P(A,B,C)}{P(C)}=\left(\frac{P(A,C)}{P(C)}\right)\left(\frac{P(B,C)}{P(C)}\right)$      (definicija uslovne verovatnoće)

ako je $P(A,B,C)=\frac{P(A,C)P(B,C)}{P(C)}$       (pomnože se obe strane sa $P(C)$)

ako je $\frac{P(A,B,C)}{P(B,C)}=\frac{P(A,C)}{P(C)}$       (podele se obe strane sa $P(B,C)$)

ako je $P(A\mid B,C)=P(A\mid C)$       (definicija uslovne verovatnoće) $\therefore$

Spoljašnje veze

• Шаблон:Commons category-inline-lat