Датотека:Butterworth-chebyshev-bessel.gif

Poređenje fazne karakteristike kod ova tri tipa filtra

Датотека:Butterworth-chebyshev-bessel amplituda.gif

Poređenje amplitudske karakteristike kod ova 3 tipa filtra

Poređenje Besselovog i Batervortovог filtra

Batervortov filter je tip filtra koji ima ravnu opadajuču karakteristiku, u propusnom opsegu i smatra se kompromisom između Čebiševog i Beselovog filtra. Filter je nazvan po Britanskom inžinjeru Stivenu Batervortu (-{Stephen Butterworth}-) koji ga je prvi opisao 1930. godine.

Uopšteno

Ovaj termin se više odnosi na tip odziva nego na specifičan tip filtra. Prenosna funkcija se tako dimenzioniše da nema „talasanja“ u propusnom opsegu i opada prema nuli u nepropusnom^[1]. Ovo se postiže izjednačavanjem izvoda prenosne funkcije sa nulom, na centralnoj učestanosti filtra (to je npr. nula za niskopropusne filtre).

Ovdje ću detaljnije obraditi niskopropusne, visokopropusne kao i filtre propusnike opsega, u slučaju kad je dato kolo nižeg ili kolo višeg reda. Filtri prvog reda su oni kod kojih odziv opada 6-{dB}- po oktavi (20-{dB}- po dekadi). Kod filtera drugog reda, riječ je o -12 -{dB}-/oct, dok se kod trećeg reda radi o -18/oct.

Dizajn filtra

Postoje nekoliko različitih topologija, odnosno vrsta izrade ovog linearnog, analognog filtra. Najkorištenije su Kauerova i Salen-Ki topologije.

Salen-Ki topologija

Salen-Ki topologija koristi aktivne i pasivne komponente (uglavnom su to operacioni pojačavači, otpornici i kondenzatori). Svaki stepen Salen-Kija dodaje po par polova. Na kraju se svi stepeni filtra povežu redno.^[2]

Analiza generičkog primjera

Sa slike se vidi da je kod OP-a zatvorena negativna sprega pa je stoga -{V-=V+=Vout}-. Napišimo jednačinu za čvor X:

\frac{v_{in} - v_{x}}{Z_{1}} = \frac{v_{x} - v_{out}}{Z_{3}} + \frac{v_{x} - v_{-}}{Z_{2}}

ili:

\frac{v_{in} - v_{x}}{Z_{1}} = \frac{v_{x} - v_{out}}{Z_{3}} + \frac{v_{x} - v_{out}}{Z_{2}}

Struja je ista kroz elemente -{Z}-2 i -{Z}-4 pa je očigledno:

\frac{v_{x} - v_{out}}{Z_{2}} = \frac{v_{out}}{Z_{4}}

Iz čega dobijamo

v_{x} = v_{out} (\frac{Z_{2}}{Z_{4}} + 1)

(3)

Uvrstimo li to u jednačinu za čvor X, dobijamo:

\frac{v_{in} - v_{out} (\frac{Z_{2}}{Z_{4}} + 1)}{Z_{1}} = \frac{v_{out} (\frac{Z_{2}}{Z_{4}} + 1) - v_{out}}{Z_{3}} + \frac{v_{out} (\frac{Z_{2}}{Z_{4}} + 1) - v_{out}}{Z_{2}}

(4)

Iz čega dobijamo prenosnu funkciju:

\frac{v_{out}}{v_{in}} = \frac{Z_{3} Z_{4}}{Z_{1} Z_{2} + Z_{3} (Z_{1} + Z_{2}) + Z_{3} Z_{4}}

(5)

Ako bi komponenta -{Z}-3 bila uzemljena, filter bi bio djelitelj napona (na -{Z}-1 i -{Z}-3), kaskadno vezan sa djeliteljem napona na -{Z}-2 i -{Z}-3.

Zavisno od odabira pasivnih komponenti za $ℤ_{1-4}$ (otpornika i kondenzatora) može se dobiti niskopropusni, visokopropusni ili filter propusnik opsega.

Primjer analize niskopropusnog filtra

Za amortizaciju (kao bafer) se koristi OP, ali se takođe može koristiti i BJT emiter . Komponente su odabrane na sljedeći način: Z1=R1; Z2=R2; Z3=1/(sC1); Z4=1/(sC2) .

Uvrštavanjem ovih vrijednosti u izraz za prenosnu funkciju koji smo dobili u prethodnom slučaju, dobijamo:

H (s) = \frac{\frac{1}{s^{2} C_{1} C_{2}}}{R_{1} R_{2} + \frac{R_{1} + R_{2}}{s C_{1}} + \frac{1}{s^{2} C_{1} C_{2}}}

Da bi zadovoljili opštu formulu:

H (s) = \frac{\overset{ω_{c}^{2}}{\overset{⏞}{(2 π f_{c})^{2}}}}{s^{2} + \underset{\frac{ω_{c}}{Q} = 2 ζ ω_{c}}{\underset{⏟}{2 π \frac{f_{c}}{Q}}} s + \underset{ω_{c}^{2}}{\underset{⏟}{(2 π f_{c})^{2}}}}

svodimo na:

H (s) = \frac{\frac{1}{R_{1} R_{2} C_{1} C_{2}}}{\frac{1}{R_{1} R_{2} C_{1} C_{2}} + \frac{s (R_{1} + R_{2})}{R_{1} R_{2} C_{1}} + s^{2}}

iz čega se lako zaključi da je:

ω_{c} = \sqrt{\frac{1}{R_{1} R_{2} C_{1} C_{2}}}

tj. :

f_{c} = \frac{1}{2 π \sqrt{R_{1} R_{2} C_{1} C_{2}}} .

Takođe se dobija da je :

Q = \frac{\sqrt{R_{1} R_{2} C_{1} C_{2}}}{C_{2} (R_{1} + R_{2})}

$f_{c}$ predstavlja cutoff frekvenciju ( $ω_{c},$ naravno cutoff kružnu učestanost), dok je $Q$ faktor dobrote (bezdimenziona veličina) koji opisuje koliko je visok i širok pik odziva filtra. Veći Q faktor označava manji gubitak energije u odnosu na frekvenciju, tj. oscilacije se sporije gase (odumiru).

Dizajner mora odabrati parametre $Q$ i $f_{c}$ zavisno od situacije. Naprimjer, Batervortov filter drugog reda, koji ima najveći flet odziv u propusnom opsegu, ima $Q$ koji iznosi $\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Imamo 2 parametra za podešavanje, a 4 nepoznate ( $R_{1}, R_{2}, C_{1}, C_{2}$ ), obično se uzima jedan otpornik kao odnos sa drugim (tipa $R_{1} = m * R_{2}$ ). Isto se uradi i kod odabira kondendzatora.

Primjer odabira elemenata

Датотека:Sallen-Key Lowpass primjer.png

Primjer odabira elemenata

Kolo sa slike ima $f_{c}$ od 15.9 kHz i $Q$ faktor od 0.5. Prenosna funkcija izgleda ovako:

H (s) = \frac{1}{1 + \underset{\frac{1}{ω_{c} Q}}{\underset{⏟}{C_{2} (R_{1} + R_{2})}} s + \underset{\frac{1}{ω_{c}^{2}}}{\underset{⏟}{C_{1} C_{2} R_{1} R_{2}}} s^{2}},

Poslije uvrštavanja ( $R_{1} = m * R_{2}$ ; $C_{1} = n * R_{2}$ ), dobijamo:

H (s) = \frac{1}{1 + \underset{\frac{1}{ω_{c} Q}}{\underset{⏟}{R C (m + 1)}} s + \underset{\frac{1}{ω_{c}^{2}}}{\underset{⏟}{m n R^{2} C^{2}}} s^{2}}

Odavde vidimo da se jednostavnom promjenom odnosa R,C ili m,n može postići ista frekvencija i faktor dobrote za bilo koji filter.

Primjer analize visokopropusnog filtra

Analiziraćemo visokopropusni filter drugog reda, sa slike. Njegova prenosna funkcija će biti oblika:

H (s) = \frac{s^{2}}{s^{2} + \underset{\frac{ω_{c}}{Q}}{\underset{⏟}{2 π (\frac{f_{c}}{Q})}} s + \underset{ω_{c}^{2}}{\underset{⏟}{(2 π f_{c})^{2}}}},

Iz jednačina:

(V_{in} - V_{a}) s C_{1} = (V_{a} - V_{+}) s C_{2} + \frac{V_{a} - V_{out}}{R_{1}}

V_{+} = V_{out} = \frac{R_{2} s C_{2}}{R_{2} s C_{2} + 1} V_{a}

Sređivanjem se dobija:

H (s) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{s^{2}}{s^{2} + \frac{s}{R_{2}} (\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}}) + \frac{1}{R_{1} R_{2} C_{1} C_{2}}}

Upoređivanjem jednačina se dobija:

f_{c} = \frac{1}{2 π \sqrt{R_{1} R_{2} C_{1} C_{2}}}

R_{1} = R_{2} = R, C_{1} = C_{2} = C;

f_{c} = \frac{1}{2 π R C},

Primjer analize filtra propusnika opsega

Na slici je prikazan bandpass filter implementiran u VCVS topologiji. Iako nije ista topologija, metod analize je sličan i lakše ga je objasniti na ovom primjeru. Prenosna funkcija ovog filtra je data izrazom:

H (s) = \frac{\overset{G}{\overset{⏞}{(1 + \frac{R_{b}}{R_{a}})}} \frac{s}{R_{1} C_{1}}}{s^{2} + \underset{\frac{ω_{0}}{Q}}{\underset{⏟}{(\frac{1}{R_{1} C_{1}} + \frac{1}{R_{2} C_{1}} + \frac{1}{R_{2} C_{2}} - \frac{R_{b}}{R_{a} R_{f} C_{1}})}} s + \underset{ω_{0}^{2} = (2 π f_{0})^{2}}{\underset{⏟}{\frac{R_{1} + R_{f}}{R_{1} R_{f} R_{2} C_{1} C_{2}}}}}

Centralna učestanost $f_{0}$ (frekvencija gdje odziv ima svoj pik) se dobija izrazom:

f_{0} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{R_{f} + R_{1}}{C_{1} C_{2} R_{1} R_{2} R_{f}}}

Naponski djeljitelj u kolu sa negativnom povratnom spregom kontroliše gejn. "Unutrašnji gejn" $G$ od operacionog pojačavača je

G = 1 + \frac{R_{b}}{R_{a}}

dok je gejn pojačavača, na frekvenciji pika, dat izrazom:

A = \frac{G}{3 - G}

Vidimo da se $G$ mora držati ispod 3 da filter ne bi oscilirao. Filter se obično optimizuje odabirom $R_{2} = 2 R_{1}$ i $C_{1} = C_{2}$ .

Butterworth filtri višeg reda

Red filtra je broj njegovih polova i koji ćemo upotrijebiti, zavisi od praktične potrebe. Aktivan filter sa N polova ima rolloff rate od N x 6dB/oktavi (N x 20dB/dekadi). Slično, odziv visokopropusnog filtra sa N polova povecava se po N x 6dB/oktavi, sve do cutoff frekvencije. U oba slučaja, f_c je definisano kao:

f_{c} = \frac{1}{2 π R C}

Magnituda naponske prenosne funkcije za niskopropusne filtre -{N}--tog reda je:

| T | = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{f}{f_{c}})^{2 N}}}

Датотека:3red.jpg

Filter trećeg reda (slika 6 u daljoj analizi)

Za visokopropusne filtre -{N}--tog reda, magnituda naponske prenosne funkcije je:

| T | = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{f_{c}}{f})^{2 N}}}

Na slici je prikazan niskopropusni Batervortov filter trećeg reda (ima 3 pola). Tri otpornika su jednaka a odnos između kapacitivnosti tako što se prvi i drugi izvod prenosne funkcije izjednače sa nulom.

Датотека:4red.png

Filter četvrtog reda

Filtri višeg reda se mogu konstruisati dodavanjem još -{RC}- mreža. Međutim, efekat punjenja za svaku dodatnu -{RC}- mrežu postaje sve vidljiviji. Ovo se prevazilazi tako što se kaskadno (redno) vežu filtri drugog reda sa OP-om (znači svaki filter ima po jedan OP u sebi).Zbog niske izlazne otpornosti OP-a, gotovo da nema efekta punjenja između kaskada. Primjer takvog filtra se može vidjeti na slici. Maksimalno ravan odziv se ne dobija prostim vezivanjem na red ovih dvo-polnih filtera. Potrebno je uskladiti kapacitivnosti izjednačavanjem prva tri izvoda funkcije prenosa, sa nulom. Na sličan način se mogu konstruisati i filtri višeg reda. Propusnici i nepropusnici opsega koriste sličnu konfiguraciju.

Primjer rješavanja niskopropusnog aktivnog Butterworth filtra trećeg reda

Od raznih topologija koje su nam na raspolaganju za izradu filtra višeg reda, Sallen-Key zahtijeva najmanji broj komponenti pa je takav filter lakše analizirati (npr. samo jedan OP za 3-polni odziv 18 -{dB/oct}-). Slijedi opis analize sklopa sa slike 6.

Posmatramo čvor -{3b}- (gdje je -{v₃ = v_3a = v_3b}-). Jednačina za napon čvora se može napisati i ovako: $v_{o u t} = (\frac{R_{4} + R_{5}}{R_{5}}) \cdot v_{3}$

Označimo: $M = 1 + \frac{R_{4}}{R_{5}}$ Zatim: $v_{3} = \frac{v_{o u t}}{M}$

Naponi za ostale čvorove glase:

\frac{M^{- 1} \cdot v_{o u t} - v_{2}}{R_{3}} + s \cdot C_{3} (M^{- 1} \cdot v_{o u t}) = 0

\frac{v_{1} - v_{i n}}{R_{1}} + s \cdot C_{1} \cdot v_{1} + \frac{v_{1} - v_{2}}{R_{2}} = 0

\frac{v_{2} - v_{1}}{R_{2}} + s \cdot C_{2} \cdot (v_{2} - v_{o u t}) + \frac{v_{2} - M^{- 1} \cdot v_{o u t}}{R_{3}} = 0

Prenosna funkcija -{H(s) = V_out/V_in}-, sada izgleda -{H(s)}-=

\frac{\frac{M}{R_{1} \cdot R_{2} \cdot R_{3} \cdot C_{1} \cdot C_{2} \cdot C_{3}}}{[s^{3} + (\frac{1}{R_{1} \cdot C_{1}} + \frac{1}{R_{2} \cdot C_{1}} + \frac{1}{R_{2} \cdot C_{2}} + \frac{1 - M}{R_{3} \cdot C_{3}} + \frac{1}{R_{3} \cdot C_{2}}) \cdot s^{2} + (\frac{R_{3} \cdot C_{3} + R_{1} \cdot C_{3} + R_{2} \cdot C_{3} + C_{1} \cdot R_{1} + (1 - M) \cdot (R_{1} + R_{2}) \cdot C_{2}}{R_{1} \cdot R_{2} \cdot R_{3} \cdot C_{1} \cdot C_{2} \cdot C_{3}}) \cdot s + \frac{1}{R_{1} \cdot R_{2} \cdot R_{3} \cdot C_{1} \cdot C_{2} \cdot C_{3}}]}

Primijetimo da je opšti oblik za -{H(s)}- 3-polnog Butterworth niskopropusnog filtra na cutoff frekvenciji od 1 rad/sec:

\frac{K_{a c}}{s^{3} + 2 s^{2} + 2 s + 1}

Primijetimo:

\frac{1}{R_{1} \cdot R_{2} \cdot R_{3} \cdot C_{1} \cdot C_{2} \cdot C_{3}} = 1

\frac{R_{3} \cdot C_{3} + R_{1} \cdot C_{3} + R_{2} \cdot C_{3} + C_{1} \cdot R_{1} + (1 - M) \cdot (R_{1} + R_{2}) \cdot C_{2}}{R_{1} \cdot R_{2} \cdot R_{3} \cdot C_{1} \cdot C_{2} \cdot C_{3}} = 2

\frac{1}{R_{1} \cdot C_{1}} + \frac{1}{R_{2} \cdot C_{1}} + \frac{1}{R_{2} \cdot C_{2}} + \frac{1 - M}{R_{3} \cdot C_{3}} + \frac{1}{R_{3} \cdot C_{2}} = 2

gdje je K_ac = M.

Izaberemo izlazni rast od: -{K_ac}- = 3 (9,5 -{dB}-)

Takođe, izaberemo sljedeće vrijednosti komponenti: $C_{1} = 3000 u F, C_{2} = 1000 u F, C_{3} = 1000 u F, R_{5} = 10 k O m$

Rješavajuči po -{R₁, R₂, R₃}- i -{R₄ dobijamo}-:

-{R₁= 816.46 Om, R₂= 481.26 Om, R₃= 848.33 Om, R₄= 10 kOm}-

Dozvoljeno nam je da promijenimo vrijednosti R₁-R₄ prema EIA standardu od 1% tolerancije po dekadi:

-{R₁= 825 Om, R₂= 487 Om, R₃= 845 Om, R₄= 20 kOm}-

I dobijamo: Датотека:Jednacina 13.jpg

Praktični savjeti:

Za različite vrijednosti rasta mogu se koristiti vrijednosti komponenti sa tabele ispod, ili svaki blok zasebno rješavati za različitu vrijednost Kac. Koristite samo pozitivne pozitivne potkorjene vrijednosti. Programski paket -{Mathcad(TM)}- može pomoći pri računu.

-{M(K_ac)}-	0-{dB}-	6-{dB}-	12-{dB}-	18-{dB}-	24-{dB}-	30-{dB}-	36-{dB}-
-{R1(Ω)}-	1.292	15.652	1.624	4.305	3.246	1.437	3.234
-{R2(Ω)}-	2.093	14.694	4.067	1.750	2.134	16.260	7.198
-{R3(Ω)}-	3.698	4.348	15.144	13.276	1.444	42.794	42.950
-{R4(Ω)}-	0	10.000	30.000	70.000	15.000	31.000	63.000
-{R5(Ω)}-	∞	10.000	10.000	10.000	1.000	1.000	1.000
-{C1(F)}-	10^-3	10^-4	10^-3	10^-3	10^-3	10^-3	10^-3
-{C2(F)}-	10^-3	10^-4	10^-4	10^-4	10^-4	10^-5	10^-5
-{C3(F)}-	10^-4	10^-4	10^-4	10^-4	10^-3	10^-4	10^-4

-{M(K_ac)}-	42-{dB}-	48-{dB}-	54-{dB}-	60-{dB}-	66-{dB}-	72-{dB}-	78-{dB}-
-{R1(Ω)}-	1.640	1.242	2.243	1.030	1.137	1.700	6.053
-{R2(Ω)}-	13.615	69.066	32.123	185.004	285.242	136.553	47.723
-{R3(Ω)}-	4.479	116.556	138.815	5.249	308.473	430.832	346.170
-{R4(Ω)}-	127.000	25.500	51.100	102.300	20.470	40.950	81.910
-{R5(Ω)}-	1.000	100	100	100	10	10	10
-{C1(F)}-	10^-3	10^-3	10^-3	10^-3	10^-3	10^-3	10^-3
-{C2(F)}-	10^-5	10^-6	10^-6	10^-6	10^-7	10^-7	10^-7
-{C3(F)}-	10^-3	10^-4	10^-4	10^-3	10^-4	10^-4	10^-4

Primjer tropolnog Batervortovog filtra

U prikazanoj šemi:

1. Tranzistori Mm6, 7, 8, 9 i 10 su tranzistori za strujno ogledalo u šemi za mješač.
2. Prvi transkonduktor čine -{Mf1}- i 2 (i aktivno opterećenje). On se ponaša kao zaštita između mješača i filtra.
3. -{Rf1}- i -{Cf1}- su dva od uređaja koji se koriste u normalizovanom niskopropusnom filtru (podešenom na frekvenciju i impedansu)
4. Četiri transkonduktorske ćelije (-{Mf2}--10 i odgovarajuća aktivna opterećenja) i kondenzator -{Cf2}- čine aktivni induktor.
5. Rf2 i Cf3 su krajnje komponente normalizovanog niskopropusnog filtra.

Mreža za pomjeranje faze ima centralnu frekvenciju od 5,5 -{MHz}- i propusni opseg (gdje je fazni pomak linearan) od oko 1 -{MHz}-. To je u suštini paralelna -{RLC}- mreža gdje je induktor aktivni induktor.

U gornjoj šemi:

1. Kondenzatori -{Cps1}- i 2 su izabrani tako da je njihova reaktansa jednaka reaktansi -{Rps1}-.
2. -{R}- je izabrano tako da određeni faktor dobrote -{Q}- (i potom širinu propusnog opsega fazno pomjerajuće mreže).
3. -{Cps3}- i aktivni induktor (dvije transkonduktorske ćelije) podešavaju centralnu frekvenciju u mreži za pomjeranje faze.

Kauer topologija

Kauer topologija koristi pasivne komponente (kondenzatore i kalemove) za implementaciju linearnog analognog filtra. Izraz za -{k}--ti element je dat u formi:

C_{k} = 2 \sin \frac{2 k - 1}{2 n} π

; k = neparno

L_{k} = 2 \sin \frac{2 k - 1}{2 n} π

; k = parno

Filter se može realizovati i sa serijski vezanim induktivitetom na početku, ali se u tom slučaju uzima da je -{L_k}- od -{k}- neparno a -{C_k}- od -{k}- parno.

Reference

Шаблон:Reflist

Литература

Шаблон:Normativna kontrola

[bianchi-1] Шаблон:Cite book

[Neamen-2] Шаблон:Cite book

[1]

[2]

Batervortov filter

Садржај

Uopšteno

Dizajn filtra