Algebarski varijeteti

Извор: testwiki
Пређи на навигацију Пређи на претрагу
Upleteni kubni objekat je projektivni algebarski varijetet.

Algebarski varijeteti su centralni objekti izučavanja u algebarskoj geometriji.[1][2][3][4][5] Klasično, algebarski varijetet je definisan kao skup rešenja sistema polinomskih jednačina nad realnim ili kompleksnim brojevima.[6][7][8] Savremene definicije generališu ovaj koncept na nekoliko različitih načina, pokušavajući da sačuvaju geometrijsku intuiciju iza prvobitne definicije.Шаблон:R

Konvencije o definiciji algebarskog varijeteta neznatno se razlikuju. Na primer, neke definicije zahtevaju da je algebarski varijetet nereduktivan, što znači da nije unija dva manja skupa koja su zatvorena u Zariskovoj topologiji. Pod ovom definicijom, algebarski varijeteti koji se mogu redukovati nazivaju se algebarske grupe. Druge konvencije ne zahtevaju nereduktivnost.

Fundamentalna teorema algebre uspostavlja vezu između algebre i geometrije, pokazujući da je monski polinom (algebarski objekat) u jednoj promenljivoj sa kompleksnim brojevima kao koeficijenatima određen setom njegovih korena (geometrijski objekt) u kompleksnoj ravni. Generalizirajući ovaj rezultat, Hilbertova teorema nula daje fundamentalnu korespondenciju između ideala polinomskih prstenova i algebarskih skupova. Koristeći teoremu nula i srodne rezultate, matematičari su uspostavili čvrstu korespondenciju između pitanja o algebarskim skupovima i pitanja teorije prstena. Ova korespondencija je definišuća karakteristika algebarske geometrije.[9] [10][11]

Mnogi algebarski varijeteti su mnogostrukosti, ali algebarski varijetet može da ima singularne tačke dok mnogostrukost ne može. Algebarski varijeteti se mogu karakterisati njihovom dimenzijom. Algebarski varijeteti dimenzije jedan se nazivaju algebarskim krivama, a algebarski varijeteti dimenzije dva se nazivaju algebarskim površima.

Pregled i definicije

Afini varijetet nad algebarski zatvorenim poljem je konceptualno najlakši tip varijeteta za definisanje, što će biti urađeno u ovom odeljku. Dalje, na sličan način se mogu definisati projektivni i kvaziprojektivni varijeteti. Najopštija definicija varijeteta se dobija spajanjem manjih kvaziprojektivnih varijeteta. Nije očigledno da se na ovaj način mogu konstruisati istinski novi primeri varijeteta, mada je Nagata je dao primer takvog novog varijeteta tokom 1950-ih.

Afini varijeteti

Шаблон:Main-lat

Za algebarski zatvoreno polje Шаблон:Mvar i prirodan broj Шаблон:Mvar, neka je Шаблон:Math [[Affine space|afini Шаблон:Math-prostor]] nad Шаблон:Math, identifikovan sa Kn izborom afinog koordinatnog sistema. Polinomi Шаблон:Math u prstenu Шаблон:Math se mogu posmatrati kao funkcije sa K-vrednošti na Шаблон:Math procenom Шаблон:Math  u tačkama u Шаблон:Math, tj. odabirom vrednosti u K za svako xi. Za svaki skup S polinoma u Шаблон:Math, definisati nulti lokus Z(S) kao skup tačaka u Шаблон:Math na kojima funkcije u S istovremeno nestaju, tj.

Z(S)={x∈𝐀n∣f(x)=0 for all f∈S}.

Podskup V od Шаблон:Math se naziva afinim algebarskim skupom ako je V = Z(S) za neki S.Шаблон:R Neprazan afini algebarski skup V naziva se nesvodljivim ako se ne može zapisati kao unija dva prava algebarska podskupa.Шаблон:R Nesvodljivi afini algebarski skup se takođe naziva afina varijanta.Шаблон:R (Neki autori koriste frazu afini varijetet koja se odnosi na bilo koji afini algebarski skup, nesvodljiv ili ne.[note 1])

Afinim varijetetima može se dati prirodna topologija tako što će se zatvoreni skupovi proglasiti upravo afinim algebarskim skupovima. Ova topologija se naziva topologija Zariskog.Шаблон:R

S obzirom na podskup V od Шаблон:Math, definišemo I(V) kao ideal svih polinomskih funkcija koje nestaju na V:

I(V)={f∈K[x1,…,xn]∣f(x)=0 for all x∈V}.

Za bilo koji afini algebarski skup V, koordinatni prsten ili strukturni prsten od V je količnik polinomskog prstena prema ovom idealu.Шаблон:R

Napomene

Шаблон:Reflist

Reference

Шаблон:Reflist

Literatura

Шаблон:Литература

Шаблон:Литература крај

Spoljašnje veze

Шаблон:Commons category-lat

Шаблон:Authority control-lat

  1. ↑ Шаблон:Cite web
  2. ↑ Шаблон:Cite journal
  3. ↑ Шаблон:Cite web
  4. ↑ Шаблон:Cite journal
  5. ↑ Шаблон:Cite journal
  6. ↑ Шаблон:Cite journal
  7. ↑ Шаблон:Cite journal
  8. ↑ Шаблон:Cite journal
  9. ↑ Шаблон:Cite web
  10. ↑ Шаблон:Cite book
  11. ↑ Шаблон:Cite journal


Грешка код цитирања: Постоје ознаке <ref> за групу с именом „note“, али нема одговарајуће ознаке <references group="note"/>

Преузето из „https://sr.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Algebarski_varijeteti&oldid=7120”