6-ј симбол

Вигнеров 6-ј симбол дефинисао је 1940. Еуген Паул Вигнер. Дефинишу се преко суме продуката 3-ј симбола:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = \sum_{m_{i}} (- 1)^{S} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) \times

\times (\begin{matrix} j_{1} & j_{5} & j_{6} \\ - m_{1} & m_{5} & m_{6} \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{4} & j_{5} & j_{3} \\ m_{4} & - m_{5} & m_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{4} & j_{2} & j_{6} \\ - m_{4} & - m_{2} & - m_{6} \end{matrix}) .

са фазом $S = \sum_{k = 1}^{6} (j_{k} - m_{k})$ . Сумира се преко свих шест Шаблон:Math, а селекциона правила 3jm ограничавају суму. Повезани су са Раковим коефицијентима:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{4} + j_{5}} W (j_{1} j_{2} j_{5} j_{4}; j_{3} j_{6}) .

Развој

Вигнеров 6-ј симбол може да се прикаже преко коначне суме:

{\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \end{matrix}} = (- 1)^{a + c + d + f} \frac{Δ (a b c) Δ (b d f)}{Δ (a e f) Δ (c d e)} \times

\times \sum_{n} (- 1)^{n} \frac{(a - b + d + e - n)! (- b + c + e + f - n)! (a + c + d + f + 1 - n)!}{n! (a - b + c - n)! (- b + d + f - n)! (a + e + f + 1 - n)! (c + d + e + 1 - n)!}

а ту се сумација одвија по свим n све док факторијели не постану негативни.

При томе функција $Δ (j_{1}, j_{2}, j_{3})$ је једнака 1 ако је задовољена релација триангуларности за $(j_{1}, j_{2}, j_{3})$ , а 0 ако није дефинисана је следећим изразом:

Δ (a, b, c) = [(a + b - c)! (a - b + c)! (- a + b + c)! / (a + b + c + 1)!]^{1 / 2}

Релација ортогоналности

Вигнерови симболи задовољавају релације ортогоналности:

\sum_{j_{3}} (2 j_{3} + 1) {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & {j_{6}}^{'} \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{6}^{} {j_{6}}^{'}}}{2 j_{6} + 1} Δ (j_{1}, j_{5}, j_{6}) Δ (j_{4}, j_{2}, j_{6}) .

Специјални случај

У случају да је $j_{6} = 0$ добија се:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & 0 \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{2}, j_{4}} δ_{j_{1}, j_{5}}}{\sqrt{(2 j_{1} + 1) (2 j_{2} + 1)}} (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} Δ (j_{1}, j_{2}, j_{3}) .

При томе функција $Δ (j_{1}, j_{2}, j_{3})$ је једнака 1 ако је задовољена релација триангуларности за $(j_{1}, j_{2}, j_{3})$ , а 0 ако није.

Симетрије

Вигнеров 6-ј симбол инваријантан је на пермутацију две колоне, тако да вреди:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ j_{5} & j_{4} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{3} & j_{2} \\ j_{4} & j_{6} & j_{5} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{3} & j_{2} & j_{1} \\ j_{6} & j_{5} & j_{4} \end{matrix}} .

Вигнеров 6-ј симбол инваријантан је и на замену два аргумента у горњим колонама са два аргумента у доњим колонама:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{4} & j_{5} & j_{3} \\ j_{1} & j_{2} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{5} & j_{6} \\ j_{4} & j_{2} & j_{3} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{4} & j_{2} & j_{6} \\ j_{1} & j_{5} & j_{3} \end{matrix}} .

Вигнеров 6-ј симбол

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}}

је нула сем ако j₁, j₂ и j₃ не задовољавају триангуларне услове:

j_{1} = | j_{2} - j_{3} |, \dots, j_{2} + j_{3} .

Асимптотски развој

Асимптотска формула је развијена за случај када свих шест квантних бројева j₁, ..., j₆ тежи великим бројевима. Асимптотска формула је дана са:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} \sim \frac{1}{\sqrt{12 π | V |}} \cos (\sum_{i = 1}^{6} J_{i} θ_{i} + \frac{π}{4}) .

Литература

Спољашње везе

3ј, 6ј и 9ј симболи

Шаблон:Нормативна контрола

6-ј симбол

Садржај

Развој

Релација ортогоналности

Специјални случај

Симетрије

Асимптотски развој

Литература

Спољашње везе

Мени за навигацију

6-ј симбол

Развој

Релација ортогоналности

Специјални случај

Симетрије

Асимптотски развој

Литература

Спољашње везе

Мени за навигацију

Претрага