1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯

Архимедова фигура са a = 3/4

У математици, бесконачан низ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · је пример једног од првог бесконачног низа који се сумирао у историји математике; коришћен је од стране Архимеда 250-200. п. н. е. Како је геометријски низ са првим изразом 1/4 и количником 1/4, његов збир је

$\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}.$

Визуелне демонстрације

3с = 1.

Ред 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · даје се у неким посебно једноставним визуелним демонстрацијама јер се квадрат и троугао могу поделити на четири слична дела, од којих сваки садржи 1/4 подручја оригинала.

На слици лево, ако се узима да велики квадрат има површину 1, онда највећи црни квадрат има површину (1/2) (1/2) = 1/4. Исто тако, други по величини црни квадрат има површину 1/16, а трећи по величини црни квадрат има површину 1/64. Подручје обухваћени црним квадратима заједно је стога 1/4 + 1/16 + 1/64 + · · ·, и то је такође област коју заузимају сиви квадрати и бели квадрати. Како ове три области покривају јединични квадрат, цифра показује да је

$3(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\cdots )=1.$

Архимедова илустрација, приложена на врху, била је мало другачија, ближе једначини

3с = 1 поново

$\frac{3}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\frac{3}{4^4}+\cdots =1.$

Погледајте испод за детаље о Архимедовим тумачењима.

Иста геометријска стратегија такође ради за троуглове, као на слици на десној страни: ако велики троугао има површину 1, онда највећи црни троугао има површину 1/4, и тако даље. Фигура као целина има самосличност између великог троугла и горњег под-троугла. Сродна конструкција израде фигуре сличне свим трима на његовим угловима производи троугао Сјерпињског.

Архимедов доказ

Ова крива је парабола. Тачке на секант линији АЕ су подједнако распоређени. Архимед је показао да је збир области троуглова АБЦ и ЦДЕ 1/4 из области троугла АЦЕ. Он је тада градио још један слој од четири троугла на врху оних, чији је збир области 1/4 од суме области АБЦ и ЦДЕ, а затим још један слој од осам троуглова на врху, имајући 1/4 тог подручја, и тако даље. Он је закључио да је подручје између секант линије и криве 4/3 подручја троугла АЦЕ.

Архимед наилази на низ у свом раду Квадратура параболе. Он је проналашао подручје унутар параболе методом исцрпљености, и добио низ троуглова; свака фаза изградње додаје површину 1/4 пута на подручје претходне фазе. Његов жељени резултат на тој укупној области је 4/3 подручја прве фази. Да би стигао тамо, он узима паузу од параболе да уведе алгебарски леме:

Предлог 23. Дат је низ области А, Б, C, D, ..., З, од чега је А највећи, и сваки је једнак четири пута следећем у реду, затим

$A+B+C+D+\cdots +Z+\frac{1}{3}Z=\frac{4}{3}A.$

Архимед доказује предлог првим обрачунавањем

$\begin{array}{ccc}B+C+\cdots +Z+\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots +\frac{Z}{3}& =& \frac{4B}{3}+\frac{4C}{3}+\cdots +\frac{4Z}{3}\\ & =& \frac{1}{3}(A+B+\cdots +Y).\end{array}$

С друге стране,

$\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots +\frac{Y}{3}=\frac{1}{3}(B+C+\cdots +Y).$

Одузимањем ове једначине од претходне једначине даје

$B+C+\cdots +Z+\frac{Z}{3}=\frac{1}{3}A$

и додајући А обема странама даје жељени резултат.

Данас, више стандардна формулација у Архимедовог предлога је да су делимичне суме низа Шаблон:Nowrap :

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{4^n}=\frac{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{4}}.$

Овај облик се може доказати множењем обе стране 1 - 1/4 и посматрањем да сви, али први и последњи изрази на левој страни једначине отказују у паровима. Иста стратегија ради за било који коначни геометријски низ.

Граница

Архимедов Предлог 24 примењује коначну (али неодређену) суму у Предлогу 23 на подручју унутар параболе са дуплим свођењем на апсурд. Он баш не узима границу наведених парцијалних сума, али у модерној математици овај корак је довољно лак:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}.$

Пошто се збир бескрајног низа дефинише као граница његових парцијалних сума,

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\cdots =\frac{4}{3}.$

Литература

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book Page images at Шаблон:Cite web Шаблон:Wayback HTML with figures and commentary at Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal