1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯

„Halfminusquarter“. Под лиценцом CC BY 3.0 са сајта Wikipedia - -{R|https://en.wikipedia.org/wiki/File:Halfminusquarter.png#/media/File:Halfminusquarter.png}-

У математици, бесконачни низ 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · је једноставан пример наизменичног низа који конвергира апсолутно.

То је геометријски низ чији је први термин 1/2 и чији је количник -1/2, тако да му је збир

$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\cdots =\frac{1/2}{1-(-1/2)}=\frac{1}{3}.$

Хакенбуш и суреалс

Демонстрација  2/3 игром нула-вредности

Благо преуређење низа чита

$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\cdots =\frac{1}{3}.$

Серија има облик позитивног целог броја, плус низ који садржи све негативне снаге два са било позитивним или негативним предзнаком, тако да може да се преведе у бескрајни плаво-црвени Хакенбуш стринг који представља надреални број 1/3:

ЛРРЛРЛР… = 1/3.

Нешто једноставнији Хакенбушев низ елиминише понављање Р:

ЛРЛРЛРЛ… = 2/3.

Што се тиче Хакенбушеве игре структуре, ова једначина значи да одбор приказан на десној страни има вредност 0; који год играч помера други има добитну стратегију.

Повезани редови

• Изјава да је 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · апсолутно конвергентан значи да је низ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · · конвергентан. У ствари, овај други ред конвергира у 1, и доказује да је један од бинарних експанзија 1 0.111 ....
• Упаривање до услова низа 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 · · · резултира у другом геометријском низу са истом сумом, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1 / 256 · · ·. Овај низ је један од првих који се сумира у историји математике; коришћен је од стране Архимеда у 250-200 п. н. е.
• Еулер трансформација дивергентног низа 1 - 2 + 4 - 8 + · · · је 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 · · · . Стога, иако прошли низ нема суму у уобичајеном смислу, он је Еулер сумирање до 1/3.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book