1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

Првих шест сабирака извучених као делови квадрата.

Геометријски низ као права линија.

У математици, бесконачни низ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · · је елементарни пример геометријског низа који конвергира апсолутно.

Његов збир је

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.$

Директан доказ

Као и код сваког бесконачног низа, бесконачни збир

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$

је дефинисан да значи ограничење збира првих н израза

$s_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^n}$

како се н приближава бесконачности. Множењем s_n 2 открива користан однос:

$2s_n=\frac{2}{2}+\frac{2}{4}+\frac{2}{8}+\frac{2}{16}+\cdots +\frac{2}{2^n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}=1+s_n-\frac{1}{2^n}.$

Одузимањем s_n са обе стране,

$s_n=1-\frac{1}{2^n}.$

Како н тежи бесконачности, s_n тежи 1.

Историја

Овај низ је коришћен као представљање једног од Зенонових парадокса. Делови Уџат ока једном су мислили да представљају првих шест сабирака низа.

Види још

• 0.999...
• Тачкаста напомена