Чебишевљева неједнакост сума

Пафнути Лавович Чебишев

Чебишевљева неједнакост сума носи назив према руском математичару Пафнути Чебишеву. Ако имамо два опадајућа низа:

$a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n$

и

$b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_n,$

онда вреди Чебишевљева неједнакост

$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\ge \left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{b}_k\right).$

Исто тако ако је један низ растући, а други опадајући:

$a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$

и

$b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_n,$

онда вреди

$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\le \left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{b}_k\right).$

Доказ

Пођимо од суме

$S=\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n(a_j-a_k)(b_j-b_k).$

Ако су два низа опадајућа (односно нису растућа) онда Шаблон:Math и Шаблон:Math имају исти предзнак за било који Шаблон:Math. Збога тога следи да је Шаблон:Math. Из горње једначине и Шаблон:Math добијамо:

$0\le n\sum _{j=1}^n{a}_j{b}_j+n\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k-\sum _{j=1}^n{a}_j\sum _{k=1}^n{b}_k-\sum _{k=1}^n{a}_k\sum _{j=1}^n{b}_j,$

Сабирајући исте чланове добијамо:

$0\le 2n\sum _{j=1}^n{a}_j{b}_j-2\sum _{j=1}^n{a}_j\sum _{k=1}^n{b}_k.$

Коначно следи:

$\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{a}_j{b}_j\ge \frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{a}_j\frac{1}{n}\sum _{j=a}^n{b}_k.$

Генерализација неједнакости

Постоји генерализирана верзија Чебишевљеве неједнакости у случају континуиранога низа у виду функције. Ако су f и g реалне интеграбилне функције на интервалу [0, 1] и ако су обе растуће или обе падајуће онда следи:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)g(x)dx⩾\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx\underset{0}{\overset{1}{\int }}g(x)dx.$

Литература

• -{Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library. Cambridge: Cambridge University Press. Шаблон:ISBN}-