Хермитова интерполација

Шаблон:Neprovereni seminarski У нумеричкој анализи, Хермитова интерполација, названа по француском математичару Шарл Ермиту је метод интерполације. Тако створен Хермитов полином је сличан Њутновом интерполационом полиному у томе што су оба настала од рачунања са подељеним разликама.

Међутим, за разлику од Њутнове интерполације, Хермитова одређује непознату функцију и за дату вредност и за дату вредност у првих m извода. То значи да n(m + 1) вредности

$\begin{array}{cccc}(x_0,y_0),& (x_1,y_1),& \dots ,& (x_{n-1},y_{n-1}),\\ (x_0,{y_0}^{\prime }),& (x_1,{y_1}^{\prime }),& \dots ,& (x_{n-1},y_{n^{\prime }-1}),\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ (x_0,y_0^{(m)}),& (x_1,y_1^{(m)}),& \dots ,& (x_{n-1},y_{n-1}^{(m)})\end{array}$

морају бити познате, за разлику од првих n вредности потребне за Њутнову интерполацију. Добијени полином имати највећи могући степен n(m + 1) − 1, за разлику од Њутновог чији је највећи степен n − 1.

Коришћење

Тривијалан случај

Када користимо подељене разлике да израчунамо Хермитов полином функције f, први корак је да сваку тачку умножимо m пута. (Овде ћемо разматрати најједноставнији случај $m=1$ за сваку тачку.) Тада ако нам је дато $n+1$ тачака $x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n$ и вредности у тачкама $f(x_0),f(x_1),\dots ,f(x_n)$ и $f^{\prime }(x_0),f^{\prime }(x_1),\dots ,f^{\prime }(x_n)$ за функцију коју желимо да интерполирамо, креирамо

$z_0,z_1,\dots ,z_{2n+1}$

тако да су

$z_{2i}=z_{2i+1}=x_i.$

Потом, правимо табелу подељених разлика за тачке $z_0,z_1,\dots ,z_{2n+1}$. Мада за неке подељене разлике

$z_i=z_{i+1}⟹f[z_i,z_{i+1}]=\frac{f(z_{i+1})-f(z_i)}{z_{i+1}-z_i}=\frac{0}{0}$

што није дефинисано! У том случају, заменимо подељену разлику са $f^{\prime }(z_i)$.

Општи случај

У општем случају, претпоставимо да је функција у тачки $x_i$ k пута диференцијабилна. Онда $z_0,z_1,\dots ,z_N$ има k копија $x_i$. Када правимо табелу подељених разлика, разлике од $j=2,3,\dots ,k$ ће имати исте врености и оне се рачунају са

$\frac{f^{(j)}(x_i)}{j!}.$

На пример,

$f[x_i,x_i,x_i]=\frac{f^{″}(x_i)}{2}$

$f[x_i,x_i,x_i,x_i]=\frac{f^{(3)}(x_i)}{6}$

итд.

Пример

Нека је функција $f(x)=x^8+1$. Са вредностима ове функције и њена прва два извода у $x\in \{-1,0,1\}$, добијамо

x	ƒ(x)	ƒ'(x)	ƒ''(x)
−1	2	−8	56
0	1	0	0
1	2	8	56

Пошто имамо информације из прва два извода, можемо направити скуп $\{z_i\}=\{-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1\}$. Наша табела подељених разлика је онда

$\begin{array}{cccccccccc}{z}_0=-1& f[z_0]=2& & & & & & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_0)}{1}=-8& & & & & & & \\ z_1=-1& f[z_1]=2& & \frac{f^{″}(z_1)}{2}=28& & & & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_1)}{1}=-8& & f[z_3,z_2,z_1,z_0]=-21& & & & & \\ z_2=-1& f[z_2]=2& & f[z_3,z_2,z_1]=7& & 15& & & & \\ & & f[z_3,z_2]=-1& & f[z_4,z_3,z_2,z_1]=-6& & -10& & & \\ z_3=0& f[z_3]=1& & f[z_4,z_3,z_2]=1& & 5& & 4& & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_3)}{1}=0& & f[z_5,z_4,z_3,z_2]=-1& & -2& & -1& \\ z_4=0& f[z_4]=1& & \frac{f^{″}(z_4)}{2}=0& & 1& & 2& & 1\\ & & \frac{f^{\prime }(z_4)}{1}=0& & f[z_6,z_5,z_4,z_3]=1& & 2& & 1& \\ z_5=0& f[z_5]=1& & f[z_6,z_5,z_4]=1& & 5& & 4& & \\ & & f[z_6,z_5]=1& & f[z_7,z_6,z_5,z_4]=6& & 10& & & \\ z_6=1& f[z_6]=2& & f[z_7,z_6,z_5]=7& & 15& & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_7)}{1}=8& & f[z_8,z_7,z_6,z_5]=21& & & & & \\ z_7=1& f[z_7]=2& & \frac{f^{″}(z_7)}{2}=28& & & & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_8)}{1}=8& & & & & & & \\ z_8=1& f[z_8]=2& & & & & & & & \end{array}$

и полином изгледа

$\begin{array}{cc}P(x)& =2-8(x+1)+28(x+1{)}^2-21(x+1{)}^3+15x(x+1{)}^3-10x^2(x+1{)}^3\\ & +4x^3(x+1{)}^3-1x^3(x+1{)}^3(x-1)+x^3(x+1{)}^3(x-1{)}^2\\ & =2-8+28-21-8x+56x-63x+15x+28x^2-63x^2+45x^2-10x^2-21x^3\\ & +45x^3-30x^3+4x^3+x^3+x^3+15x^4-30x^4+12x^4+2x^4+x^4\\ & -10x^5+12x^5-2x^5+4x^5-2x^5-2x^5-x^6+x^6-x^7+x^7+x^8\\ & =x^8+1.\end{array}$

узимајући коефицијенте са дијагонале табеле подељених разлика и множећи k-ти коефицијент са $\prod _{i=0}^{k-1}(x-z_i)$, као што бисмо радили и код Њутновог полинома.

Грешка

Ако имамо полином H и функцију f, Код одређивања тачке $x\in [x_0,x_n]$ функција грешке је

$f(x)-H(x)=\frac{f^{(K)}(c)}{K!}\prod _i(x-x_i{)}^{k_i}$

где је c непозната унутар интервала $[x_0,x_N]$, K број тачака плус један и $k_i$ број извода познат за сваки $x_i$ плус један.