Хелмхолцова теорема

Хелмхолцова теорема или Хелмхолцова декомпозиција представља једну од теорема векторскога рачуна. Према тој теореми ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље одређени у свакој тачки коначне области, тада унутар ње векторско поље може да се растави на две компоненте, једну иротациону (чији ротор је једнак нули) и другу соленоидну. Хелмолцова теорема је добила име по Херману фон Хелмхолцу.

Теорем

Ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље $𝐅(𝐫)$ одређени у свакој тачки коначне области, тада се унутар те области то векторско поље може да се растави на две компоненте, једну иротациону (чији ротор је једнак нули) и другу соленоидну, тј:

$𝐅(𝐫)={𝐅}_1(𝐫)+{𝐅}_2(𝐫),$

где је:

$\mathrm{rot}{𝐅}_1(𝐫)=0$ и

$\mathrm{div}{𝐅}_2(𝐫)=0$

То заправо значи да се такво векторско поље може генерирати са два потенцијала, једним скаларним $\phi$ и другим векторским $𝐀$.

Потенцијали

Пошто је:

$𝐅(𝐫)={𝐅}_1(𝐫)+{𝐅}_2(𝐫),$

$\mathrm{rot}{𝐅}_1(𝐫)=0,$

$\mathrm{div}{𝐅}_2(𝐫)=0$

Онда се те две функције даду изразити преко скаларнога потенцијала $\phi$ и векторскога потенцијала $𝐀$ тј:

${𝐅}_1=-\mathrm{\nabla }\phi$

${𝐅}_2=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

односно:

$𝐅=-\mathrm{\nabla }\phi +\mathrm{\nabla }\times 𝐀,$

При томе је:

$\phi (𝐫)=\frac{1}{4\pi }{\int }_V\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\cdot 𝐅({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime }-\frac{1}{4\pi }{\int }_S\frac{𝐅({𝐫}^{\prime })\cdot {𝐝𝐒}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|},$

$𝐀(𝐫)=\frac{1}{4\pi }{\int }_V\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\times 𝐅({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime }+\frac{1}{4\pi }{\int }_S\frac{𝐅({𝐫}^{\prime })\times {𝐝𝐒}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}.$

Ако $𝐅(𝐫)$ опада довољно брзо у бесконачности, тада друга компонента тежи нули, па вреди:

$\phi (𝐫)=\frac{1}{4\pi }{\int }_V\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\cdot 𝐅({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime },$

$𝐀(𝐫)=\frac{1}{4\pi }{\int }_V\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\times 𝐅({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime }.$

Лонгитудинална и трансверзална поља

Често се у физици те две компоненте векторскога поља помињу као лонгитудинална и трансверзална компонента. Таква терминологија настала је када се Фуријеовом трансформацијом од поља $𝐅$ добије поље $\widetilde{𝐅}$, које се онда у свакој тачки k декомпонира у две компоненте, од којих је лонгитудиналан у смеру k, а трансверзална вертикална на k. Тада имамо:

$\widetilde{𝐅}(𝐤)={\widetilde{𝐅}}_l(𝐤)+{\widetilde{𝐅}}_t(𝐤)$

$𝐤\cdot {\widetilde{𝐅}}_t(𝐤)=0.$

$𝐤\times {\widetilde{𝐅}}_l(𝐤)=\mathrm{𝟎}.$

Инверзном Фуријеровом трансформацијом добијамо:

$𝐅={𝐅}_t+{𝐅}_l$

$\mathrm{\nabla }\cdot {𝐅}_t=0$

$\mathrm{\nabla }\times {𝐅}_l=\mathrm{𝟎}$

што представља Хелмхолцову декомпозицију.

Литература

• Хелмхолцова теорема
• -{George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995)}-