Фрудов број

Вилијамс Фруд (Вилијамс Фруд), енглески инжењер, хидродинамичар и конструктор бродова.

Фрудов број је бездимензијска величина. Може се сматрати да је хидродинамички еквивалент Маховом броју, а одражава сличност кретања у простору додира два флуида различите густине. Физички представља однос инерцијалних и гравитационих сила. Најзначајнија му је употреба за успостављање сличних услова кретања пловила на води. Добио је име по енглеском инжењеру, истраживачу у домену хидродинамике, Вилијамсу Фруду.

Коришћене физичке величине

Чамац с крилом, који полеће и слеће на води.

• Основне
  • $l$ је дужина -{[m]}-
  • $m$ је маса -{[kg]}-
  • $t$ је време -{[s]}-
• Изведене
  • $\mathrm{v}$ је брзина -{[m/s]}-
  • $𝐜$ је генерисана брзина почетног хидродинамичког таласа -{[m/s]}-
  • ${𝐜}_{𝐰}$ је резултујућа брзина хидродинамичког таласа -{[m/s]}-
  • $g$ убрзање земљине теже (гравитација) -{[m/s²]}-
  • $b$ највећа оквашена ширина -{[m]}-
  • $L$ највећа оквашена дужина -{[m]}-

Феномен

Чамац прави бразду, траг.

У природи је распрострањен пример попуне одређеног простора с ваздухом и водом, то јест заједничког смештаја два флуида различите густине. Примери су, за случај вода-ваздух, мора, реке и језера. Услед различите специфичне тежине ваздуха и воде, под утицајем земљине теже, је разграничен њихов смештај у простору. Разграничење представља њихову, међусобну додирну површину.

За случај кретања тела кроз простор додира двају флуида, условна површина тела се поклапа с додирном површином флуида (у наведеном примеру, ваздуха и воде). При кретању се, међусобно додирна површина флуида, мења по облику у струјном пољу око тела, као на слици при кретању чамца.

Овом кретању се супротставља сила, чија једна компонента зависи од облика поремећене додирне површине флуида, у непосредној близини тела.

Примери оваквог кретања су пловци хидроавиона, амфибијско возило, летећи чамац (при полетању и слетању на воду), хидроглисер, брод итд.

Дефиниција

Параметри таласа

Брзина и облик кретања таласа

У хидродинамичким каналима се испитује и мери утицај облика таласа на параметре кретања тела. Талас се генерише у додиру флуида с телом, које се креће по површини додира двају флуида различите густине. На основу искуства и оваквих мерења је закључено да компонента силе супростављања томе кретању, зависи од облика таласа, по амплитуди, периоду и учестаности (илустрација таласа на слици десно). Талас има карактеристике осцилаторног кретања, дефинисаног с дужином λ -{m}-, периодом -{T}- -{s}- и с таласном брзином -{c}- = λ-{/T m/s}-.

Мерења се реализују у хидродинамичким каналима, за кретање одређеног тела, с разлитим брзинама и за различите величине модела, с варирањем размере.

Бездимензијска анализа

Имајући у виду, да параметри таласа зависе од убрзања земљине теже, те и та компонента силе супростављања кретању, односно њен бездимензијски коефицијент зависи од убрзања -{g}-.

У аеродинамици постоје исто тако примери где на резултате мерења утиче земљино убрзање -{g}-. То је при испитивању ковита у вертикалном аеротунелу.

Проблем бездименијске анализе је исти као у Рејнолдсовом броју.

Хидродинамичка сила се може написати, у претходном контексту за нестишљиво и невискозно струјање, као функција:

Талас, који генерише пловило.

$C_F=f(\rho ,\mathrm{v},l,g,\kappa ,\alpha ,\beta )$

Где су: κ облик аеротела, α нападни угао и β бочни угао.

Претходна функција се може развити у ред:

$C_F=\sum A{\rho }^x{\mathrm{v}}^y{l}^z{g}^p{\kappa }^q{\alpha }^r{\beta }^s$

Применом бездимензијске анализе, мора се постићи индентичност димензија леве и десне стране једначине:

$Dim\left[C_F\right]\equiv Dim\left[{\rho }^x{\mathrm{v}}^y{l}^z{g}^p\right]$

Коефицијент хиродинамичке силе C_F нема димензију, те и и однос величина на десној страни једначине мора бити без димензије. Значи, обе стране једначине су без димензије:

$Dim\left[C_F\right]=1\Rightarrow Dim\left[{\rho }^x{\mathrm{v}}^y{l}^z{g}^p\right]=1$

Из овога услова се одређују експоненти утицајних физичких величина, у претпостављеној функцији.

$Dim\left[C_F\right]=1\Rightarrow l^0{m}^0{t}^0\equiv {\left(l^{-3}m\right)}^x{\left(l{t}^{-1}\right)}^y{l}^z{\left(l{t}^{-2}\right)}^p\Rightarrow l^0{m}^0{t}^0\equiv l^{-3x+y+z+p}{m}^x{t}^{-y-2p}\Rightarrow$

$0=-3x+y+z+p;0=x;0=y+2p$

Заменом решења овог система једначина, се добија:

$x=0;y=-2p;z=p\Rightarrow C_F=\sum A{\left(\frac{lg}{{\mathrm{v}}^{\mathrm{2}}}\right)}^p{\kappa }^q{\alpha }^r{\beta }^s$

Пошто су -{A, p, q, r}- и -{s}- потпуно произвољне вредности, произилази да је:

$C_F=f(\frac{lg}{{\mathrm{v}}^{\mathrm{2}}},\kappa ,\alpha ,\beta )$

Где се добијени израз без димензије назива Фрудов број, а означава се:

$F_r=\frac{{\mathrm{v}}^{\mathrm{2}}}{lg}$

Имајући у виду чињеницу да је Фрудов број без димензије, може се приступити математичкој поставци:

$Dim\left[F_r\right]\equiv Dim\left[\frac{{\mathrm{v}}^{\mathrm{2}}}{lg}\right]=1\Rightarrow Dim\left[F_r\right]\equiv Dim\left[\frac{\mathrm{v}}{\sqrt{lg}}\right]=1$

Пошто у претходном изразу броиоц има димензију брзине (-{m/s}-), то има и имениоц (пошто је количник њихових димензија једнак јединици), а има и везу с таласом, то имениоц представља таласну брзину, -{c}- -{m/s}-.

У образложењу горње функције C_F, је наглашена чињеница да је експонент -{p}-, над изразом за Фрудов број, било који произвољан број. Сагласно томе се може сматрати да тај произвољни број у себи садржи и квадратни корен, а да се при томе не мења смисао функције.

На основу претходног, може се сматрати да је Фрудов број однос брзине тела и брзине простирања таласа, који тело иницијално генерише у флуиду (нпр. у води).

$F_r=\frac{𝐯}{\sqrt{lg}}=\frac{𝐯}{𝐜}\Rightarrow 𝐜=\sqrt{lg}=\frac{\lambda }{T}$

Употреба

Примена код пловила

Датотека:Okvasena duzina.png

Оквашена дужина брода.

За пловила:бродове, глисере, чамце итд. је Фрудов број у облику:

$F_r=\frac{𝐯}{\sqrt{gL}}$

Где је -{L}- усвојена највећа дужина оквашеног дела пловила, у линији додира ваздуха и воде.

Нпр. брод, при кретању, генерише таласе с приближном таласном дужином као и вредност за -{L}-.

Теоретски гледано, струјање око брода се дели на категорије:

• под-критично F_r<1, брзина брода је мања од брзине распостирања таласа
• критично F_r=1, брзина брода је једнака брзини распростирања таласа
• над-критично F_r>1, брзина брода је већа од брзине распростирања таласа

У групу подкритичних струјања спадају велике брзине бродова који плове у дубоким водама, где се неометано развијају дивергентни таласи.

Кроз критични режими струјања су у опсегу Фрудових бројева:

$F_r=0,85÷1,1$

Резултујући талас се простире резултујућом брзином од:

${𝐜}_{𝐰}=\sqrt{gh}\Rightarrow \sqrt{\frac{gL}{2\pi }}\Rightarrow \sqrt{gL}={𝐜}_{𝐰}\sqrt{2\pi }\Rightarrow F_r=\frac{𝐯}{{𝐜}_{𝐰}\sqrt{2\pi }}$

Где је: $h=\frac{L}{2\pi }$

У случају изједначења:

$𝐯={𝐜}_{𝐰}\Rightarrow F_r=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\Rightarrow F_r\approx 0,4$

Када брзина брода претекне вредност $\sqrt{\frac{gL}{2\pi }}$, онда претиче и брзину резултујућег таласа и почиње да глисира. У томе случају је Фрудов број:

$F_r\geqq 0,4$

Тада брод глисира на површини воде, упоредиво као и авион када лети надзвучном брзином.

При овим условима, нагло опадне сила отпора од таласа, која се супротставља кретању пловила. Код авиона је инверзни случај, отпор нагло порасте у надзвучном лету.

То је сасвим објашњиво, с јасном аргументацијом физикалности. У надзвучном лету је авион изложен утицају снажних ударних таласа, а последично и скоку отпора.

Пловило при глисирању се ослобађа од таласа воде и од њиховог изазивања компоненте силе отпора. Отпор, кретању пловила се своди, само на компоненте силе отпора од ваздуха и од трења услед глисирања по површини воде.

Да би се глисирање раније изазвало и подржало, на хидроглисер се уграђују хидрокрила, с којима се ствара хидроузгон и пловило се подиже у позицију глисирања, још на мањим бризинама. Ова се технологија редовно користи код хидроглисера за брже и лакше успоствљање режима глисирања.

Фрудов број је користан за упоређење и анализу утицаја величине трупа на отпор брода.

Таласи у плиткој води

За таласе у плиткој води, као што су таласи плиме, преливи преко брана и водопада је Фрудов број:

$F_r=\frac{𝐯}{\sqrt{gd}}$

Где је -{d}- ширина попречног пресека струјног поља, на који је ток упрошћено сведен.

Овде се исто за вредности Фрудовог броја F_r < 1 се користи назив под-критични проток, за F_r = 1, критични проток и F_r > 1 над-критични проток.

Види још

• Аеродинамика
• Аеротунели
• Махов број
• Рејнолдсов број

Коришћени извори

• -{Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi i drugi deo, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.}-
• Шаблон:En- {Hidráulica de los canales abiertos. Ven Te Chow. 1982. Шаблон:ISBN.}-
• Шаблон:En -{Mott, Robert L. Mecánica de Fluidos. Sexta Edición. Editorial Pearson. México, 2006.}-

Спољашње везе

• More than 300, freely available, published research articles on open channel flow, hydraulic engineering and related topics by Professor Hubert Chanson, Department of Civil Engineering, The University of Queensland
• Извор