Унакрсно множење

Унакрсно множење је математичка операција, посебно примјењива у основној аритметици и елементарној алгебри, за једначине између два разломка или рационланих израза, кориштена у циљу да би се поједноставила једначина или одредила вредност променљиве.

Примери

Дата је једначина:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

(где Шаблон:Math и Шаблон:Math нису нула), унакрсно множење даје:

$ad=bc\mathrm{o}\mathrm{r}a=\frac{bc}{d}.$

У Еуклидовој геометрији исти резултат се може постићи коришћењем односа слично као код троугла.

Поступак

У пракси, метод унакрсног множења значи да помножимо бројилац сваке (или једне) стране са страном имениоца друге стране, укрштањем:

$\frac{a}{b}\nwarrow \frac{c}{d}\frac{a}{b}\nearrow \frac{c}{d}.$

Математичко оправдање за методу је из следећег математичког поступка. Ако почннемо са основном једначином:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

можемо помножити услове на свакој страни са истим бројем, и услови ће остати исти. Дакле, ако помножимо разломак на вакој страни са - Шаблон:Math - добијамо:

$\frac{a}{b}\times bd=\frac{c}{d}\times bd.$

Можемо скратити разломак, јер се две појаве $b$ на лвој страни могу скратити, као и два понављања Шаблон:Math на десној страни, остаје:

$ad=bc$

и можемо да поделимо обе стране једначине са било којим елементом - у овом случају ћемо узети Шаблон:Math - добијамо:

$a=\frac{bc}{d}.$

Друго оправдање унакрсног множења је следеће. Узмимо дату једначину:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

помножимо са Шаблон:Math = 1 на левој и са Шаблон:Math = 1 на десној, добијамо:

$\frac{a}{b}\times \frac{d}{d}=\frac{c}{d}\times \frac{b}{b}$

и тако:

$\frac{ad}{bd}=\frac{cb}{db}.$

Уклањањем заједничких именилаца Шаблон:Math = Шаблон:Math, остаје нам:

$ad=cb.$

Сваки корак у овим поступцима заснован је на јединственом, основном својству једначина. Унакрсно множење је пречица, лако разумљива процедура коју уче ученици.

Употреба

То је уобичајена процедура у математици, коришћена да скрати разломке или израчуна вредност променљиве у разломку. Ако имамо једначину, где је Шаблон:Math променљива

$\frac{x}{b}=\frac{c}{d}$

можемо да користимо унакрсно множење за одређивање:

$x=\frac{bc}{d}.$

На пример, рецимо да желимо да знамо колико ће аутомобил прећи за 7 сати, ако знамо да је његова брзина константна и да је већ путовао 90 километар у последња 3 сата. Претварањем проблема у пропорцију добијамо:

$\frac{x}{7\mathrm{h}}=\frac{90\mathrm{k}\mathrm{m}}{3\mathrm{h}}.$

Унакрсним множењем добијамо:

$x=\frac{7\mathrm{h}\times 90\mathrm{k}\mathrm{m}}{3\mathrm{h}}$

и тако:

$x=210\mathrm{k}\mathrm{m}.$

И једноставније једначине, као што су:

$a=\frac{x}{d}$

се решавају коришћењем унакрсног множења, недостаје Шаблон:Math члан који је имплицитно једнак 1:

$\frac{a}{1}=\frac{x}{d}.$

Било која једначина која садржи разломке или рационалне изразе може се поједноставити множењем обе стране са најмањим заједничким садржаоцем. Овај корак се зове чишћење разломака.

Правило Тројке

Правило Тројке је скраћена верзија за одређени облик унакрсног множења, који ученици уче напамет. У Француском наставном плану у програму за средње образовање.

За једначине облика:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{x}$

где је променљива која се израчунава десни именилац, стање Правила Тројке је:

$x=\frac{bc}{a}.$

У том контексту, Шаблон:Math се назива крајња пропорција, а Шаблон:Math и Шаблон:Math се назвају средства.

Ово правило је већ познато Јеврејима од 15. века п. н. е. као и посебан случај Kal va-chomer (קל וחומר). Такође је познато по Индијском (Vedic) математичару у 6. веку п. н. е. и Кинески математичар пре у 7. веку н.е., иако се у Европи користи много касније. Правило Тројке је стекло популарност зато што га је тешко објаснити: погледати Cocker's Arithmetick.

На пример, Cocker's Arithmetick уводи своју дискусију о Правилу Тројке Шаблон:Sfn са проблемом "Ако је 4 јарди тканине коштало 12 шилика, колико ће коштати 6 јарди у тој стопи?" Правило Тројке даје одговоре на ово питање директно; док у модерној математици, ми бисмо га решили увођењем променљиве Шаблон:Math за 6 метара платна, записује се једначина:

$\frac{4\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{s}}{12\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{s}}=\frac{6\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{s}}{x}$

а затим помоћу унакрсног множења израчунавамо Шаблон:Math:

$x=\frac{12\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{s}\times 6\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{s}}{4\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{s}}=18\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{s}.$

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book