Теорија катастрофе

У математици, теорија катастрофа је грана теорије бифуркација у проучавању динамичких система; такође је посебан случај општије теорије сингуларитета у геометрији.

Теорија бифуркација проучава и класификује феномене које карактеришу нагле промене у понашању настале услед малих промена у околностима, анализирајући како квалитативна природа решења једначина зависи од параметара који се појављују у једначини. Ово може довести до изненадних и драматичних промена, на пример, непредвидивог времена и магнитуде клизишта.

Теорија катастрофа настала је радом француског математичара Ренеа Тома 1960-их година, а постала је веома популарна захваљујући труду Кристофера Зимана 1970-их. Она разматра посебан случај где се дугорочна стабилна равнотежа може идентификовати као минимум глатке, добро дефинисане функције потенцијала (Љапуновљева функција). Мале промене у одређеним параметрима нелинеарног система могу проузроковати појављивање или нестајање равнотежа, или њихову промену из привлачних у одбојне и обрнуто, што доводи до великих и изненадних промена у понашању система. Међутим, посматрано у ширем простору параметара, теорија катастрофа открива да такве тачке бифуркације теже да се појаве као део добро дефинисаних квалитативних геометријских структура.

Крајем 1970-их, примене теорије катастрофа у областима ван њеног опсега почеле су да буду критиковане, посебно у биологији и друштвеним наукама. Залер и Сасман су у чланку из 1977. године у часопису Nature описали такве примене као „карактерисане нетачним резоновањем, натегнутим претпоставкама, погрешним последицама и претераним тврдњама”. Као резултат тога, теорија катастрофа је постала мање популарна у применама.

Елементарне катастрофе

Теорија катастрофа анализира дегенерисане критичне тачке функције потенцијала — тачке у којима нису само први извод, већ и један или више виших извода функције потенцијала једнаки нули. Оне се називају клицама геометрија катастрофа. Дегенерација ових критичних тачака може се развити проширивањем функције потенцијала као Тејлоровог реда у малим пертурбацијама параметара.

Када дегенерисане тачке нису само случајне, већ су структурно стабилне, оне постоје као организациони центри за одређене геометријске структуре ниже дегенерације, са критичним карактеристикама у простору параметара око њих. Ако функција потенцијала зависи од две или мање активних променљивих, и четири или мање активна параметра, онда постоји само седам генеричких структура за ове геометрије бифуркација, са одговарајућим стандардним облицима у које се Тејлоров ред око клица катастрофа може трансформисати помоћу дифеоморфизма (глатке трансформације чији је инверз такође гладак).Шаблон:Тражи се извор Ових седам основних типова је сада представљено, са именима која им је дао Том.

Функције потенцијала једне активне променљиве

Теорија катастрофа проучава динамичке системе који описују еволуцију променљиве стања $x$ током времена $t$: :$\dot{x}=\frac{dx}{dt}=-\frac{dV(u,x)}{dx}$

У горњој једначини, $V$ се назива функција потенцијала, а $u$ је често вектор или скалар који параметризује функцију потенцијала. Вредност $u$ се може мењати током времена, а такође се може назвати променљивом управљања. У следећим примерима, параметри попут $a,b$ су такве управљачке променљиве.

Катастрофа набора

Катастрофа набора, са површи $z=-y^2-0.1x^4$.

Стабилни и нестабилни пар екстрема нестају при бифуркацији набора

$V=x^3+ax$

Када је Шаблон:Nowrap, потенцијал V има два екстрема - један стабилан и један нестабилан. Ако се параметар a полако повећава, систем може пратити стабилну тачку минимума. Али при Шаблон:Nowrap стабилни и нестабилни екстрем се сусрећу и поништавају. Ово је тачка бифуркације. При Шаблон:Nowrap више не постоји стабилно решење. Ако се физички систем прати кроз бифуркацију набора, стога се открива да како a достиже 0, стабилност решења за Шаблон:Nowrap се изненада губи, а систем ће направити нагли прелаз у ново, веома другачије понашање. Шаблон:СидроОва вредност бифуркације параметра a понекад се назива „тачком преокрета”.

Катастрофа шиљка

Катастрофа шиљка, са површи $z=-0.1(x^4+y^4)-y^3+xy$.

$V=x^4+a{x}^2+bx$

Геометрија шиљка је веома честа када се истражује шта се дешава са бифуркацијом набора ако се контролном простору дода други параметар, b. Варирањем параметара, открива се да сада постоји крива (плава) тачака у (a,b) простору где се стабилност губи, где ће стабилно решење изненада скочити на алтернативни исход.

Али у геометрији шиљка крива бифуркације се враћа на себе, дајући другу грану где ово алтернативно решење само губи стабилност, и направиће скок назад на почетни скуп решења. Вишеструким повећањем b и затим његовим смањењем, стога се могу приметити петље хистерезе, јер систем наизменично прати једно решење, скаче на друго, прати друго назад, а затим скаче назад на прво.

Међутим, ово је могуће само у региону простора параметара Шаблон:Nowrap. Како се a повећава, петље хистерезе постају све мање и мање, док изнад Шаблон:Nowrap потпуно не нестану (катастрофа шиљка), и постоји само једно стабилно решење.

Такође се може размотрити шта се дешава ако се b држи константним, а a варира. У симетричном случају Шаблон:Nowrap, примећује се виљушкаста бифуркација како се a смањује, при чему се једно стабилно решење изненада цепа на два стабилна решења и једно нестабилно решење када физички систем прође у Шаблон:Nowrap кроз тачку шиљка (0,0) (пример спонтаног нарушавања симетрије). Даље од тачке шиљка, нема изненадне промене у физичком решењу које се прати: при проласку кроз криву бифуркација набора, све што се дешава јесте да алтернативно друго решење постаје доступно.

Позната је сугестија да се катастрофа шиљка може користити за моделовање понашања пса под стресом, који може одговорити тако што ће постати уплашен или љут. Сугестија је да ће при умереном стресу (Шаблон:Nowrap) пас показати гладак прелаз одговора од уплашеног ка љутом, у зависности од тога како је испровоциран. Али виши нивои стреса одговарају преласку у регион (Шаблон:Nowrap). Тада, ако пас почне уплашен, остаће уплашен како га све више иритирају, док не достигне тачку „набора”, када ће изненада, дисконтинуално прећи у љутити режим. Једном у „љутитом” режиму, остаће љут, чак и ако се параметар директне иритације знатно смањи.

Једноставан механички систем, „Зиманова машина катастрофе”, лепо илуструје катастрофу шиљка. У овом уређају, глатке промене у позицији краја опруге могу изазвати изненадне промене у ротационој позицији причвршћеног точка.

Катастрофални отказ сложеног система са паралелном редундантношћу може се проценити на основу односа између локалних и спољашњих напрезања. Модел механике лома структура сличан је понашању катастрофе шиљка. Модел предвиђа резервну способност сложеног система.

Остале примене укључују пренос електрона спољашње сфере који се често среће у хемијским и биолошким системима, моделовање динамике језгра кондензације облака у атмосфери, и моделовање цена некретнина.

Бифуркације набора и геометрија шиљка су убедљиво најважније практичне последице теорије катастрофа. То су обрасци који се изнова и изнова понављају у физици, инжењерству и математичком моделовању. Они производе догађаје јаког гравитационог сочивања и пружају астрономима једну од метода које се користе за детекцију црних рупа и тамне материје у универзуму, путем феномена гравитационог сочивања који производи вишеструке слике удаљених квазара.

Преостале једноставне геометрије катастрофа су веома специјализоване у поређењу с овима.

Катастрофа ластиног репа

Катастрофа ластиног репа, са површи $z=-y^4-0.1x^4+(1-x^2)y^2+0.4xy$

Површ катастрофе ластиног репа

$V=x^5+a{x}^3+b{x}^2+cx$

Простор контролних параметара је тродимензионалан. Скуп бифуркација у простору параметара састоји се од три површи бифуркација набора, које се сусрећу у две линије бифуркација шиљка, које се пак сусрећу у једној тачки бифуркације ластиног репа.

Како параметри пролазе кроз површ бифуркација набора, један минимум и један максимум функције потенцијала нестају. При бифуркацијама шиљка, два минимума и један максимум замењују се једним минимумом; иза њих бифуркације набора нестају. У тачки ластиног репа, два минимума и два максимума се сусрећу у једној вредности x. За вредности Шаблон:Nowrap, иза ластиног репа, постоји или један пар максимум-минимум, или ниједан, у зависности од вредности b и c. Две површи бифуркација набора и две линије бифуркација шиљка где се оне сусрећу за Шаблон:Nowrap, стога нестају у тачки ластиног репа, да би биле замењене само једном преосталом површи бифуркација набора. Последња слика Салвадора Далија, Ластин реп, била је заснована на овој катастрофи.

Катастрофа лептира

Катастрофа лептира, са површи $z=-20x^5+4x^3-2xy-0.5(x^4+y^4)$.

$V=x^6+a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx$

У зависности од вредности параметара, функција потенцијала може имати три, два или један различит локални минимум, раздвојен локусима бифуркација набора. У тачки лептира, различите 3-површи бифуркација набора, 2-површи бифуркација шиљка и линије бифуркација ластиног репа се сусрећу и нестају, остављајући преосталу само једну структуру шиљка када је Шаблон:Nowrap.

Функције потенцијала две активне променљиве

Површ са хиперболичким пупком и њена фокална површ. Хиперболичка пупчана катастрофа је само горњи део ове слике.

Површ са елиптичким пупком и њена фокална површ. Елиптичка пупчана катастрофа је само горњи део ове слике.

Пупчане катастрофе су примери катастрофа коранга 2. Оне се могу приметити у оптици на фокалним површима које ствара светлост која се рефлектује од површи у три димензије и уско су повезане са геометријом готово сферних површи: пупчана тачка. Том је предложио да хиперболичка пупчана катастрофа моделује ломљење таласа, а елиптичка пупчана моделује стварање структура налик коси.

Хиперболичка пупчана катастрофа

$V=x^3+y^3+axy+bx+cy$

Елиптичка пупчана катастрофа

$V=\frac{x^3}{3}-x{y}^2+a(x^2+y^2)+bx+cy$

Параболичка пупчана катастрофа

$V=x^{2}y+y^4+a{x}^2+b{y}^2+cx+dy$

Арнолдова нотација

Владимир Арнолд је дао неким од катастрофа АДЕ класификацију, због дубоке везе са простим Лијевим групама. Укратко, он примењује Морсову теорију близу критичне тачке бифуркације и класификује тополошко понашање близу те тачке, са простом Лијевом групом као групом симетрије бифуркације.

• A₀ - несингуларна тачка: $V=x$.
• A₁ - локални екстрем, или стабилан минимум или нестабилан максимум $V=\pm x^2+ax$.
• A₂ - набор
• A₃ - шиљак
• A₄ - ластин реп
• A₅ - лептир
• A_k - представник бесконачног низа облика једне променљиве $V=x^{k+1}+\cdots$
• D₄⁻ - елиптички пупак
• D₄⁺ - хиперболички пупак
• D₅ - параболички пупак
• D_k - представник бесконачног низа даљих пупчаних облика
• E₆ - симболички пупак $V=x^3+y^4+ax{y}^2+bxy+cx+dy+e{y}^2$
• E₇
• E₈

Постоје објекти у теорији сингуларитета који одговарају већини осталих простих Лијевих група.Шаблон:Тражи се извор

Оптика

Датотека:Caustic Shallow Water.webm

Ивица дуге је катастрофа набора, те има дифракциони образац описан Еријевом функцијом. Ово је генерично и стабилно за било који облик капљице воде.

Као што предвиђа теорија катастрофа, сингуларитети су генерични и стабилни под пертурбацијом. Ово објашњава како су светле линије и површи стабилне под пертурбацијом. На пример, каустике које се виде на дну базена имају карактеристичну текстуру и само неколико типова сингуларних тачака, иако се површина воде непрестано мења.

Ивица дуге, на пример, има катастрофу набора. Због таласне природе светлости, катастрофа има фине дифракционе детаље описане Еријевом функцијом. Ово је генерички резултат и не зависи од прецизног облика капљице воде, тако да ивица дуге увек има облик Еријеве функције. Иста катастрофа набора Еријеве функције може се видети у расејању језгро-језгро („нуклеарна дуга”).

Катастрофа шиљка је следећа најједноставнија за посматрање. Због таласне природе светлости, катастрофа има фине дифракционе детаље описане Пирсијевом функцијом. Катастрофе вишег реда, попут ластиног репа и лептира, такође су примећене.

Каустика катастрофе шиљка, генерисана из круга и паралелних зрака.

Фотографија каустике шиљка настале осветљавањем равне површине ласерским зраком кроз капљицу воде. Ово је Пирсијева функција и стабилна је под пертурбацијама.

Види још

• Нарушавање симетрије
• Ефекат лептира
• Теорија хаоса
• Домино ефекат
• Емергенција
• Превојна тачка
• Морфологија
• Фазни прелаз
• Испрекидана равнотежа
• Ефекат грудве снега
• Спонтано нарушавање симетрије

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• CompLexicon: Теорија катастрофа Шаблон:Wayback
• Учитељ о катастрофама
• Java симулација Зиманове машине катастрофе