Тангенсна теорема

Троугао

У тригонометрији, тангентна теорема представља однос два угла троугла и дужине наспрамне странице.

На слици -{a}-, -{b}- и -{c}- су дужине страница троугла, а α, β и γ су углови наспрам те три странице. Тангентна теорема гласи:

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\alpha -\beta )]}{\tan [\frac{1}{2}(\alpha +\beta )]}.$

Иако тангентна теорема није уобичајено позната као синусна или косинусна теорема, она је еквивалентна синусној теореми и може се користити ако су познате дужине две странице и угао измедју њих, као и ако су позната два угла и дужина једне странице. Тангентну теорему код сферних троуглова је описао, у тринаестом веку, персијски математичар Насир ал-Дин ал-Туси (1201-1274), који је такође дефинисао и синусну теорему троугла.

Доказ

Доказ да се тангентна теорема може извести из синусне теореме:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }.$

Нека је:

$d=\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta },$

Тако да је:

$a=d\sin \alpha \text{ and }b=d\sin \beta .$

Следи:

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }=\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }.$

Koristeći trigonometrijsku funkciju za transformaciju zbira i razlike u proizvod:

$\sin (\alpha )\pm \sin (\beta )=2\sin \left(\frac{\alpha \pm \beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha \mp \beta }{2}\right),$

Следи:

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{2\sin \frac{1}{2}(\alpha -\beta )\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )}{2\sin \frac{1}{2}(\alpha +\beta )\cos \frac{1}{2}(\alpha -\beta )}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\alpha -\beta )]}{\tan [\frac{1}{2}(\alpha +\beta )]}.$

Као алтернатива коришћењу функције збира или разлике два синуса, такође се може користити ова тригонометријска функција:

$\tan \left(\frac{\alpha \pm \beta }{2}\right)=\frac{\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }$

Примена

Помоћу тангентне теореме се може израчунати непозната дужина странице троугла и углови троугла код ког су две странице -{a}- и -{b}- и угао између њих познати. Из

$\tan [\frac{1}{2}(\alpha -\beta )]=\frac{a-b}{a+b}\tan [\frac{1}{2}(\alpha +\beta )]=\frac{a-b}{a+b}\cot [\frac{\gamma }{2}]$

Преостала страница -{c}- се може израчунати из синусне теореме. Пре електронских калкулатора, овај начин израчунавања се користио чешће него косинусна теорема, пошто је овај други начин захтевао додатно проверавање у логаритамским таблицама, због рачунања квадратног корена.

Тангенсна теорема полу-углова

Тангенсна теорема

Тангенсна теорема говори о тангенсима полу-углова изражених помоћу страна троугла и полупречника уписаног круга у дати троугао.

Теорема 1

Тангенс полу-угла троугла једнак је количнику полупречника уписаног круга и разлике полуобима и супротне стране, тј.

$\mathrm{tg}\frac{A}{2}=\frac{r}{p-a},\mathrm{tg}\frac{B}{2}=\frac{r}{p-b},\mathrm{tg}\frac{C}{2}=\frac{r}{p-c},$

где су A, B, C углови троугла ABC, r полупречник уписане кружнице, $p=\frac{a+b+c}{2}$ полуобим, при чему су странице $a=y+z,b=x+z,c=x+y,$ насупрот теменима ABC, на слици десно.

Доказ: Повуцимо симетрале унутрашњих углова троугла ABC. Из центра уписаног круга О датог троугла спустимо нормале OD, OE, OF на странице троугла, редом CA = b, AB = c, BC = a. Свака од тих нормала има дужину једнаку полупречнику r уписаног круга. За тако добијене троуглове важе релације подударности $\mathrm{\Delta }AOD\cong \mathrm{\Delta }AOE,\mathrm{\Delta }BOE\cong \mathrm{\Delta }BOF,\mathrm{\Delta }COF\cong \mathrm{\Delta }COD.$ Добијамо:

$\mathrm{tg}\frac{A}{2}=\frac{r}{AE},\mathrm{tg}\frac{B}{2}=\frac{r}{BF},\mathrm{tg}\frac{C}{2}=\frac{r}{DC}.$ Сада изразимо AE, BF, DC помоћу страница троугла. Прво имамо $a=y+z,b=z+x,c=x+y,$ где су $x=AE=AD,y=BF=BE,z=CD=CF$ делови страница до додирних тачака уписане кружнице. Сабирањем ових једначина добијамо $a+b+c=2(x+y+z),$ или $x+y+z=\frac{1}{2}(a+b+c)=p.$ Одузимањем сваке од претходних са последњом једначином следи $p-a=x=AE,p-b=y=BF,p-c=z=DC,$ и сменом у полазне једначине добијамо изразе које је требало доказати. Крај доказа.

Заменом полупречника уписане кружнице одговарајућим изразима са страницама датог троугла, добићемо згодније формуле ове исте теореме.

Теорема 2

За троугао ABC важе једнакости:

$\mathrm{tg}\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}},\mathrm{tg}\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}},\mathrm{tg}\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}},$

где су a, b, c странице троугла ABC насупрот истоименим теменима, a p је полуобим.

Доказ

Полазећи од претходне теореме (1) и Хероновог образца за површину троугла $P_{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$ и од израза $P_{\mathrm{\Delta }}=rp,$ добијамо $r=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}.$ Затим следе тражене једнакости. Крај доказа.

Види још

• Равнинска тригонометрија
• Планиметрија
• Троугао
• Синусна теорема
• Косинусна теорема
• Решавање троугла