Стјуартова теорема

(Слика 1) Уз помоћ Стјуартове теореме можемо изразити дужину дужи d преко дужина a, b, c, n и m.

У геометрији Стјуартова теорема указује на релацију дужина страница троугла и дужине дужи са једном крајњом тачком на страници тог троугла, а другом у темену наспрамном тој страници (слика 1). Именована је у част шкотског математичара Метјуа Стјуарта (Шаблон:Јез-енгл -{c}-. 1717/1719 - 23. јануар 1785) који је доказао Стјуартову теорему 1749. Стјуартова теорема налаже да је:

$A{P}^2=\frac{BP}{BC}A{C}^2+\frac{CP}{BC}A{B}^2-BP$ · $CP$

Доказ преко тригонометрије

Теорема може да се докаже на следећи начин:

Нека је θ угао између m и d, и θ′ угао између n и d. Онда је θ′ суплементан углу θ па је cos θ′ = −cos θ. Косинусна теорема за углове θ и θ′ налаже

$\begin{array}{cc}{c}^2& =m^2+d^2-2dm\cos \theta \\ b^2& =n^2+d^2-2dn\cos {\theta }^{\prime }\\ & =n^2+d^2+2dn\cos \theta .\end{array}$

Помножимо прву једначину са n, другу са m, и додамо да бисмо скратили cos θ, па добијамо

$\begin{array}{cc}& b^{2}m+c^{2}n\\ & =n{m}^2+n^{2}m+(m+n)d^2\\ & =(m+n)(mn+d^2)\\ & =a(mn+d^2)\\ \end{array}$

И сређивањем се враћамо на првобитну форму:

$A{P}^2=\frac{BP}{BC}A{C}^2+\frac{CP}{BC}A{B}^2-BP$ · $CP$

Види још

• Троугао
• Тежишна дуж

Литература

• Шаблон:Cite book