Analitička teorija brojeva

Rimanova zeta funkcija ζ(s) u kompleksnoj ravni. Boja tačke -{s}- kodira vrednost -{ζ(s)}-: boje blizo crne označavaju vrednosti u blizini nule, dok nijanse kodiraju vrednosti argumenta.

U matematici, analitička teorija brojeva je grana teorije brojeva koja koristi metode matematičke analize za rešavanje problema na celim brojevima.Шаблон:Sfn Često se kaže da je započeta sa Dirihleovim radom iz 1837. godine kojim je uveo Dirihleovu -{L}--funkciju kako bi se dobio prvi dokaz Dirihleove teoreme o aritmetičkim progresijama.Шаблон:SfnШаблон:Sfn Analitička teorija brojeva je poznato po rezultatima na prostim brojevima (koji uključuju teoremu prostih brojeva i Rimanovu zeta funkciju) i aditivnoj teoriji brojeva (kao što je Goldbahova hipoteza i Varingov problem).

Grane analitičke teorije brojeva

Analitička teorija brojeva se može podeliti na dva glavna dela, podeljena više prema vrsti problema koje pokušava da reši, nego po fundamentalnim razlikama u tehnici.

• Multiplikativna teorija brojeva se bavi raspodelom prostih brojeva, kao što je procena broja prostih brojeva u datom intervalu. Ona obuhvata teoremu prostih brojeva i Dirihleovu teoremu prostih brojeva u aritmetičkim progresijama.
• Aditivna teorija brojeva se bavi aditivnom strukturom celih brojeva, kao što je Goldbahova hipoteza prema kojoj je svaki parni broj veći od 2 zbir dva prosta broja. Jedan od glavnih rezultata teorije aditivnih brojeva je rešenje Varingovog problema.

Istorija

Prekurzori

Veliki deo analitičke teorije brojeva je bio inspirisan teoremom prostih brojeva. Neka je π(x) funkcija raspodele prostih brojeva, koja daje broj prostih brojeva manji ili jednak sa x, za bilo koji realni broj x. Na primer, π(10) = 4, jer postoje četiri prosta broja (2, 3, 5 i 7) manja ili jednaka od 10. Teorema prostih brojeva navodi da je -{x / ln(x)}- dobra aproksimacija za π(x), u smislu da je limes kvocijenta dve funkcije π(x) i -{x / ln(x)}- kada se x približava beskonačnosti jednak 1:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{x/\ln (x)}=1,$

poznato je kao asimptotski zakon raspodele prostih brojeva.

Dirihle

Johan Peter Gustav Ležen Dirihle je zaslužan za stvaranje analitičke teorije brojeva, polja u kome je pronašao nekoliko suštinskih rezultata, i u čijem dokazivanju je uveo neke fundamentalne alate, mnogi od kojih su kasnije dobili ime po njemu. Godine 1837, on je objavio Dirihleovu teoremu o aritmetičkim progresijama, koristeći koncepte matematičke analize pri rešavanju algebarskog problema i tako je stvorio disciplinu analitičke teorije brojeva. Dokazujući teoremu, on je uveo Dirihleove karaktere i L-funkcije. Godine 1841, on je generalizovao svoju aritmetičku teoremu progresije od celih brojeva do prstena Gausovih celih brojeva $\mathbb{Z}[i]$.

Literatura

• Шаблон:Apostol IANT
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Ayoub, Introduction to the Analytic Theory of Numbers
• H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I : Classical Theory
• H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory.
• D. J. Newman, Analytic number theory, Springer, 1998
• Шаблон:Citation
• H. Halberstam and H. E. Richert, Sieve Methods
• R. C. Vaughan, The Hardy–Littlewood method, 2nd. edn.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat," Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), pp. 289-306
• Bashmakova, Izabella G. Diophantus and Diophantine Equations. Moscow: Nauka 1972 [in Russian]. German translation: Diophant und diophantische Gleichungen. Birkhauser, Basel/ Stuttgart, 1974. English translation: Diophantus and Diophantine Equations. Translated by Abe Shenitzer with the editorial assistance of Hardy Grant and updated by Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
• Bashmakova, Izabella G. “Arithmetic of Algebraic Curves from Diophantus to Poincaré” Historia Mathematica 8 (1981), 393-416.
• Bashmakova, Izabella G., Slavutin, E.I. History of Diophantine Analysis from Diophantus to Fermat. Moscow: Nauka 1984 [in Russian].
• Bashmakova, Izabella G. “Diophantine Equations and the Evolution of Algebra,” American Mathematical Society Translations 147 (2), 1990, pp. 85-100. Translated by A. Shenitzer and H. Grant.
• Шаблон:Cite book
• Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante : Lecture historique et mathématique, Berlin, New York : Walter de Gruyter, 2013.
• Rashed, Roshdi, Histoire de l’analyse diophantienne classique : D’Abū Kāmil à Fermat, Berlin, New York : Walter de Gruyter.
• Шаблон:Dlmf
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book Has an English translation of Riemann's paper.
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal. In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal

Spoljašnje veze

• -{Dario Alpern's Online Calculator. Retrieved 18 March 2009}-
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Mathworld