Мјерљиви простор

У математици, мјерљиви простор или Борелов простор је основни објект у теорији мјера. Састоји се од скупа и -{σ}--алгебре на овом скупу и даје информације о скуповима који ће се мјерити.

Дефиниција

Размотримо неиспразни скуп -{$X$}- и -{σ}--алгебру -{$𝒜$}- на -{$X$}-. Тада се торка -{$(X,𝒜)$}- назива мјерљивим простором.

Имајте на уму да за разлику од простора за мјерење, није потребна никаква мјера за мјерљиви простор.

Примјер

Погледајте скуп

$X=\{1,2,3\}.$

Једна могућа σ-алгебра би била

${𝒜}_1=\{X,\mathrm{\varnothing }\}.$

Тада је -{$(X,{𝒜}_1)$}- мјерљиви простор. Друга могућа -{σ}--алгебра била био партитивни скуп на -{$X$:}-

${𝒜}_2=𝒫(X).$

Са овим, други мјерљиви простор на скупу -{$X$}- је дат са -{$(X,{𝒜}_2)$}-.

Обични мјерљиви простори

Ако је -{$X$}- коначан или пребројив бесконачан, -{σ}--алгебра је већину времена партитивни скуп на -{$X$}-, тако да је -{$𝒜=𝒫(X)$}-. То доводи до мјерног простора -{$(X,𝒫(X))$}-.

Ако је -{$X$}- тополошки простор, -{σ}--алгебра је најчешће Борелова -{σ}--алгебра -{$ℬ$}-, тако да је -{$𝒜=ℬ(X)$}-. То доводи до мјерљивог простора -{$(X,ℬ(X))$}- који је заједнички за све тополошке просторе као што су реални бројеви -{$ℝ$}-.

Двосмисленост са Бореловим просторима

Термин Борелов простор се користи за различите типове мјерљивих простора. Може се односити на

• било који мјерљиви простор, тако да је синоним за мјерљиви простор као што је горе дефинисано
• мјерљиви простор који је Борел изоморфан мјерљивом подскупу реалних бројева (из Борелове -{σ}--алгебре)