Лоренцове трансформације

Шаблон:Простор-време Лоренцове трансформације носе име по Хендрику Лоренцу. Уведене су да би се закони сабирања брзина и Галилејеве трансформације усагласиле са другим постулатом специјалне теорије релативности. Лоренцове трансформације су трансформације координата. Дуго су биле коришћене Галилејеве трансформације, али у условима специјалне теорије релативности њихова примена није била могућа. Лоренцове трансформације дају везу координата и једног догађаја из два референтна система и та веза је сагласна са теоријом релативности. Трансформације важе само у случају да се системи крећу без убрзања, равномерно праволинијски, или ако мирују, тј. важе за инерцијалне системе.

Историја

Мајкелсон—Морлијев експеримент, који је био изведен крајем деветнаестог века, показао је да брзина светлости не зависи од брзине кретања посматрача и извора светлости. Тај закључај је у наредних неколико деценија довео до револуције у механици. Резултат Мајкеслон-Морлијев огледа је био у директној супротности са класичним (Галилејевим) законом сабирања светлости, и заменили су их Лоренцовим трансформацијама. Лоренцове силе су имале утицај на многе делове механике, следиле су нове дефиниције за импулс, енергију и силу. Једна од важних последица Лоренцових трансформација је енергија масе, чија је вредност изражена једном од најславнијих формула у физици $E=m{c}^2$.

Извођење формула

Трансформације у непокретним системима

Разматрањем једнодимензионалног случаја у којем се траже трансформације у складу са чињеницом да су брзине светлости исте у сваком инерцијалном систему. У случају да оба инерцијална система мирују један у односу на други, лако се може установити да је у оба система вредност брзине светлости иста.

$x=x^{\prime }+x_0$

$t=t^{\prime }$

где је x je x координата у систему Ѕ, х’ је х координата у систему Ѕ’ х₀ је положај система Ѕ’ у систему Ѕ, t је време у систему Ѕ, а t време у систему Ѕ’. Посматрајући из система Ѕ’, нека светлост крене у тренутку t’₁ из система Ѕ’ и дође до неког положају у систему Ѕ у тренутку t’₂. Брзина светлости у систему Ѕ је означена са с, а у систему Ѕ’ са с’.

$c=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$

$c^{\prime }=\frac{x{\text{'}}_2-x{\text{'}}_1}{t{\text{'}}_2-t{\text{'}}_1}$

$x=x^{\prime }+x_0\Rightarrow x_1=x{\text{'}}_1+x_0\wedge x_2=x{\text{'}}_2+x_0$

$t=t^{\prime }\Rightarrow t_1=t{\text{'}}_1\wedge t_2=t{\text{'}}_2$

$c=\frac{(x{\text{'}}_2+x_0)-(x{\text{'}}_1+x_0)}{t{\text{'}}_2-t{\text{'}}_1}$

$c=\frac{x{\text{'}}_2-x{\text{'}}_1+x_0-x_0}{t{\text{'}}_2-t{\text{'}}_1}$

$c=\frac{x{\text{'}}_2-x{\text{'}}_1}{t{\text{'}}_2-t{\text{'}}_1}$

$c=c^{\prime }$

Кретање у правцу х-осе

Трансформације у непокретним системима не важе, ако тражене трансформације нису линеарне у односу на време и положај. Стога се претпоставља да су тражене трансформације облика:

$x=A{x}^{\prime }+B{t}^{\prime }$

$t=C{x}^{\prime }+D{t}^{\prime }$

Нека се систем Ѕ’ у систем Ѕ креће брзином u дуж х-осе. У почетном тренутку координатни почеци система се поклапају. Посматрањем координатног почетка система Ѕ’ у систему Ѕ важе следеће тврдње:

$x^{\prime }=0$

$x=vt$

следи

$x=B{t}^{\prime }$

$t=D{t}^{\prime }$

$vt=B{t}^{\prime }$

$vD{t}^{\prime }=B{t}^{\prime }$

$B=vD$

сменом B са v*D добија се

$x=A{x}^{\prime }+vD{t}^{\prime }$

$t=C{x}^{\prime }+D{t}^{\prime }$

Aко се ситуација посматра из система Ѕ’, посматрањем система Ѕ који се креће следи

$x=0$

$x^{\prime }=-v{t}^{\prime }$

апсолутна вредност брзине другог система је у оба случаја иста

$0=-Av{t}^{\prime }+Dv{t}^{\prime }$

$0=v{t}^{\prime }(-A+D)$

уз претпоставку да се системи крећу међусобно брзином различитом од нуле горњи израз се може поделити са t’*v

$0=-A+D$

$A=D$

сменом D са А добија се

$x=A(x^{\prime }+v{t}^{\prime })$

$t=C{x}^{\prime }+A{t}^{\prime }$

У другом случају. Нека се систем Ѕ’ у систем Ѕ креће брзином u дуж х-осе. У почетном тренутку координатни почеци система се поклапају. Нека у том тренутку светлост крене из координатног почетка у позитивном смеру дуж х-осе. Пошто се светлост креће једнаком брзином у оба система важи

$c=\frac{x^{\prime }}{t^{\prime }}=\frac{x}{t}$

из претходних трансформација следи

$\frac{x^{\prime }}{t^{\prime }}=\frac{A(x^{\prime }+v{t}^{\prime })}{C{x}^{\prime }+A{t}^{\prime }}$

употребом x’ = ct’ добија се

$c=\frac{A(c{t}^{\prime }+v{t}^{\prime })}{Cc{t}^{\prime }+A{t}^{\prime }}$

$c=\frac{A{t}^{\prime }(c+v)}{t^{\prime }(Cc+A)}$

$c^{2}C+Ac=A(c+v)$

$C=\frac{A[(c+v)-c]}{c^2}$

$C=A\frac{v}{c^2}$

чиме се поједностављује трансформација и добија се

$x=A(x^{\prime }+v{t}^{\prime })$

$t=A(\frac{v}{c^2}{x}^{\prime }+t^{\prime })$

Разлика између система Ѕ и Ѕ’ је у предзнаку релативне брзине другог система у односу на први. Под претпоставком да је константа А независна од предзнака брзине. Тада за оба система вреде исте трансформације. Разлика у трансформацијама за Ѕ’ систем је та да ће у њему уместо релативне брзине v бити иста брзина, али супротног предзнака.

$x=A(x^{\prime }+v{t}^{\prime })$

$x^{\prime }=A(x-vt)$

Ако у почетном тренутку из координатног почетка полази фотон у позитивном смеру апсцисе добију се релације:

$ct=A(c{t}^{\prime }+v{t}^{\prime })=A{t}^{\prime }(c+v)$

$c{t}^{\prime }=A(ct-vt)=At(c-v)$

Ако се те две једначине помноже међусобно добија се:

$c^{2}t{t}^{\prime }=A^{2}t{t}^{\prime }(c^2-v^2)$

$A^2=\frac{c^2}{c^2-v^2}$

$A^2=\frac{1}{1-\frac{c^2}{v^2}}$

$A=\sqrt{\frac{1}{1-\frac{c^2}{v^2}}}$

Уврштавањем вредности А у постојеће трансформације добијамо:

$x=\frac{x^{\prime }+u{t}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

$x^{\prime }=\frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

$z=z^{\prime }$

$y=y^{\prime }$

Лоренцове трансформације за време:

$t=\frac{t^{\prime }+\frac{u{x}^{\prime }}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

$t=\frac{t-\frac{ux}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

У специјалној теорији релативности се користе и ознаке

$\beta =\frac{v}{c}$

$\gamma =\sqrt{\frac{1}{1-\frac{c^2}{v^2}}}$

Стога се трансформације могу краће написати:

$x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$

$t=\gamma (t^{\prime }+\frac{v}{c^2}{x}^{\prime })$

Кретање у правцу y и z осе

Трансформације изнад се односе само ако се кретање врши у правцу х-осе. Резултати су слични и за кретање у правцу y-осе и z-осе. За у-осу

$\begin{array}{cc}{t}^{\prime }& =\gamma (t-\frac{vy}{c^2})\\ x^{\prime }& =x\\ y^{\prime }& =\gamma (y-vt)\\ z^{\prime }& =z\end{array}$

изведено из

$\left[\begin{array}{c}c{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\gamma & 0& -\beta \gamma & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\beta \gamma & 0& \gamma & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}ct\\ x\\ y\\ z\end{array}\right],$

Где су v и \beta сада у правцу у-осе. За z–осу добија се

$\left[\begin{array}{c}c{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\gamma & 0& 0& -\beta \gamma \\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ -\beta \gamma & 0& 0& \gamma \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}ct\\ x\\ y\\ z\end{array}\right].$

Лоренцова матрица се обично обележава великим словом ламбда

$𝐗=\left[\begin{array}{c}ct\\ x\\ y\\ z\end{array}\right],{𝐗}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}c{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right],$

или краће

${𝐗}^{\prime }=\mathrm{\Lambda }(v)𝐗.$

Кретање у било којем правцу

Векторска форма

$𝐫={𝐫}_{\perp }+{𝐫}_{\Vert }$

$𝐫\cdot 𝐯={𝐫}_{\mathrm{\perp }}\cdot 𝐯+{𝐫}_{\parallel }\cdot 𝐯=r_{\parallel }v$

$\begin{array}{cc}{t}^{\prime }& =\gamma (t-\frac{𝐫\cdot 𝐯}{c^2})\\ {𝐫}^{\prime }& ={𝐫}_{\perp }+\gamma ({𝐫}_{\Vert }-𝐯t)\end{array}$

$\gamma (𝐯)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

${𝐫}^{\prime }=𝐫+(\gamma -1){𝐫}_{\parallel }-\gamma 𝐯t.$

${𝐫}_{\parallel }=r_{\parallel }\frac{𝐯}{v}=\left(\frac{𝐫\cdot 𝐯}{v}\right)\frac{𝐯}{v}$

${𝐫}^{\prime }=𝐫+(\frac{\gamma -1}{v^2}𝐫\cdot 𝐯-\gamma t)𝐯.$

Форма матрице

$\left[\begin{array}{c}c{t}^{\prime }\\ {𝐫}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\gamma & -\gamma {\mathit{\beta }}^{\mathrm{T}}\\ -\gamma \mathit{\beta }& 𝐈+(\gamma -1)\mathit{\beta }{\mathit{\beta }}^{\mathrm{T}}/{\beta }^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}ct\\ 𝐫\end{array}\right]$

$\mathit{\beta }=\frac{𝐯}{c}\equiv \left[\begin{array}{c}{\beta }_x\\ {\beta }_y\\ {\beta }_z\end{array}\right]=\frac{1}{c}\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\\ v_z\end{array}\right]\equiv \left[\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ {\beta }_3\end{array}\right]=\frac{1}{c}\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right]$

${\mathit{\beta }}^{\mathrm{T}}=\frac{{𝐯}^{\mathrm{T}}}{c}\equiv \left[\begin{array}{ccc}{\beta }_x& {\beta }_y& {\beta }_z\end{array}\right]=\frac{1}{c}\left[\begin{array}{ccc}{v}_x& v_y& v_z\end{array}\right]\equiv \left[\begin{array}{ccc}{\beta }_1& {\beta }_2& {\beta }_3\end{array}\right]=\frac{1}{c}\left[\begin{array}{ccc}{v}_1& v_2& v_3\end{array}\right]$

$\beta =|\mathit{\beta }|=\sqrt{{\beta }_x^2+{\beta }_y^2+{\beta }_z^2}.$

$\left[\begin{array}{c}c{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\gamma & -\gamma {\beta }_x& -\gamma {\beta }_y& -\gamma {\beta }_z\\ -\gamma {\beta }_x& 1+(\gamma -1)\frac{{\beta }_x^2}{{\beta }^2}& (\gamma -1)\frac{{\beta }_x{\beta }_y}{{\beta }^2}& (\gamma -1)\frac{{\beta }_x{\beta }_z}{{\beta }^2}\\ -\gamma {\beta }_y& (\gamma -1)\frac{{\beta }_y{\beta }_x}{{\beta }^2}& 1+(\gamma -1)\frac{{\beta }_y^2}{{\beta }^2}& (\gamma -1)\frac{{\beta }_y{\beta }_z}{{\beta }^2}\\ -\gamma {\beta }_z& (\gamma -1)\frac{{\beta }_z{\beta }_x}{{\beta }^2}& (\gamma -1)\frac{{\beta }_z{\beta }_y}{{\beta }^2}& 1+(\gamma -1)\frac{{\beta }_z^2}{{\beta }^2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}ct\\ x\\ y\\ z\end{array}\right].$

${𝐗}^{\prime }=\mathrm{\Lambda }(𝐯)𝐗.$

$\left[\begin{array}{c}c{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\Lambda }}_{00}& {\mathrm{\Lambda }}_{01}& {\mathrm{\Lambda }}_{02}& {\mathrm{\Lambda }}_{03}\\ {\mathrm{\Lambda }}_{10}& {\mathrm{\Lambda }}_{11}& {\mathrm{\Lambda }}_{12}& {\mathrm{\Lambda }}_{13}\\ {\mathrm{\Lambda }}_{20}& {\mathrm{\Lambda }}_{21}& {\mathrm{\Lambda }}_{22}& {\mathrm{\Lambda }}_{23}\\ {\mathrm{\Lambda }}_{30}& {\mathrm{\Lambda }}_{31}& {\mathrm{\Lambda }}_{32}& {\mathrm{\Lambda }}_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}ct\\ x\\ y\\ z\end{array}\right].$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Lambda }}_{00}& =\gamma ,\\ {\mathrm{\Lambda }}_{0i}& ={\mathrm{\Lambda }}_{i0}=-\gamma {\beta }_i,\\ {\mathrm{\Lambda }}_{ij}& ={\mathrm{\Lambda }}_{ji}=(\gamma -1)\frac{{\beta }_i{\beta }_j}{{\beta }^2}+{\delta }_{ij}=(\gamma -1)\frac{v_i{v}_j}{v^2}+{\delta }_{ij},\\ \end{array}$

Види још

• Принцип релативности
• E=mc²
• Специјална теорија релативности

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation

Спољашње везе

• Derivation of the Lorentz transformations. This web page contains a more detailed derivation of the Lorentz transformation with special emphasis on group properties.
• The Paradox of Special Relativity. This webpage poses a problem, the solution of which is the Lorentz transformation, which is presented graphically in its next page.
• Relativity Шаблон:Wayback – a chapter from an online textbook
• Warp Special Relativity Simulator. A computer program demonstrating the Lorentz transformations on everyday objects.
• Шаблон:YouTube visualizing the Lorentz transformation.
• Lorentz Frames Animated from John de Pillis. Online Flash animations of Galilean and Lorentz frames, various paradoxes, EM wave phenomena, etc.