Ленард-Џоунсов потенцијал

Шаблон:Computational physics Ленард-Џоунсов потенцијал је један од физичкохемијских модела којим се описује зависност енергије узајамног деловања неутралних честица од њиховог међусобног растојања. Назван је по свом аутору Џону Ленард-Џоунсу.

Између неутралних честица (атома и молекула) делује сила која, зависно од њиховог међусобног растојања, може бити привлачна или одбојна. На великим растојањима сила је привлачна (ван дер Валсова сила или дисперзиона сила или Лондонова сила) а на малим сила је одбојна. Привлачна сила последица је покретљивости атомског и молекулског наелетрисања због чега неутралне честице могу једна у другој да индукују диполе који се међусобно привлаче. Потенцијална енергија у пољу привлачне силе је негативна. Међутим, на кратким растојањима када наелетрисања из различитих честица почну да се прекривају долази до одбијања честица. Потенцијал у пољу одбојне силе је позитиван. Ленард-Џоунсов потенцијал представља једноставан математички модел у којем је укупни потенцијал међуделовања приказан збиром потенцијала привлачне и одбојне силе. Џон Ленард-Џоунс са универзитета у Бристолу предложио је формулу 1931. године.

Ленард-Џоунсов потенцијал димера аргона: црвено - емпиријска крива, тачкасто - Ленард-Џоунсова формула.

Једначина

Ленард-Џоунсов потенцијал има два члана, позитивни којим се представља одбијање и негативни којим се представља привлачење међу неутралним честицама:

$V(r)=4\epsilon \left[\begin{array}{c}{\left(\begin{array}{c}\frac{\sigma }{r}\end{array}\right)}^{12}-{\left(\begin{array}{c}\frac{\sigma }{r}\end{array}\right)}^6\end{array}\right]$

Овде $\epsilon$ представља дубину поенцијалне јаме а $\sigma$ је радијус честице представљене као чврста сфера. Дакле, члан ${\left(\begin{array}{c}\frac{1}{r}\end{array}\right)}^6$ означава одбојну силу а члан ${\left(\begin{array}{c}\frac{1}{r}\end{array}\right)}^{12}$ привлачну.

Минимум Ленард-Џоунсовог потенцијала постиже се када се деловања привлачне и одбојне силе узајамно пониште. Растојање при којем се то дешава називамо равнотежним:

$r_0=2^{1/6}\sigma$.

Сила је негативни градијент потенцијала поља па из горњег израза налазимо зависност силе од растојања:

$𝐅(r)=-\mathrm{\nabla }V(r)=-\frac{d}{dr}V(r)\widehat{𝐫}=4ϵ(12\frac{{\sigma }^{12}}{r^{13}}-6\frac{{\sigma }^6}{r^7})\widehat{𝐫}$

Ленард-Џоунсов потенцијал је приближни потенцијал. Облик одбојног члана нема теоријског оправдања; одбојни члан би требало експоненцијално да пада са растојањем. Међутим зависност коју је педложио Ленард-Џоунс је згодна јер се лао израчунава (онд аније било рачунара) као квадрат привлачног члана, $r^6$. Привлачни потенцијал који има далеки домет изведен је из Лоноднове дисперзионе силе.

Ленард-Џоунсов потенцијал је релативно добра апроксимација и због једноставности често се користи за описивање гасова, и моделовање дисперзије и преклапања у молекулским моделима. Посебно је згодан за описивање атома инертних гасова а добра је апроксимација при великим и средњим растојањима код неутралних молекула. На цртежу је приказан потенцијал за димер аргона, у поређењу са емпиријским потенцијалом. Мало неслагање последица је нетачности у одбојном делу Ленард-Џоунсовог потенцијала.

Алтернативни изрази

Функција Ленард-Џоунсовог потенцијала често се изражава и као

$V(r)=ϵ[{\left(\frac{r_{min}}{r}\right)}^{12}-2{\left(\frac{r_{min}}{r}\right)}^6]$

где је

$r_{min}$ = $2^{1/6}\sigma$ равнотежно растојање (растојање на минимуму потенцијала).

Често се користи и облик

$V(r)=\frac{A}{r^{12}}-\frac{B}{r^6}$

где је

$A=4ϵ{\sigma }^{12}$

$B=4ϵ{\sigma }^6$

$\sigma ={\left(\frac{A}{B}\right)}^{\frac{1}{6}}$

и

$ϵ=\frac{B^2}{4A}$.

Види још

• Морзеов потенцијал