Комбинација

Комбинације без понављања

У комбинаторици, сваки подскуп од k (k ≤ n) различитих елемената скупа С од n елемената зове се комбинација без понављања k-те класе од n елемената. Поредак елемената није важан у комбинацијама: два подскупа која имају исте елементе у другачијем поретку чине исту комбинацију. Број од k комбинација C(n, k) скупа који има n елемената је:

$C_k^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1},n\ge k\ge 0,(n,k)\in N$,

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{P(n,k)}{P(k,k)},$

$P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$,

(види факторијел)

следи:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}.$

Такође, број $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ назива се биномни коефицијент. Треба уочити да се $C_k^n$ може решити коришћењем Паскаловог троугла.

Пример

Један добар пример за разумевање израчунавања броја комбинација без понављања је игра на срећу лото. На пример, да бисмо израчунали укупан број комбинација лотоа у ком се од 39 могућих бројева извлачи 7 бројева, примењујемо формулу:

$C_7^{39}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{39}{7})=\frac{39\cdot (39-1)\cdots (39-7+1)}{7\cdot (7-1)\cdots 1}=$

$=\frac{39\cdot 38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34\cdot 33}{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\frac{77.519.922.480}{5.040}=15.380.937$

Дакле, вероватноћа добитка на лотоу на ком се погађа 7 од 39 бројева је мања од 1 према 15 милиона.

Комбинације са понављањем

Комбинације k-те класе од n елемената код којих се један елемент може до k пута понављати зову се комбинације с понављањем k-те класе од n елемената. Број комбинација с понављањем је:

${\overline{C}}_k^n={\overline{C}}_k^{n+k-1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})$,

уз услов: $n\ge k\ge 0,(n,k)\in N$.

Види још

• Комбинаторика
• Факторијел
• Портал:Математика