Квантно механички осцилатор

Квантно механички осцилатор је квантно механички аналог класичном хармонијском осцилатору. Будући да се произвољни потенцијал обично може апроксимирати као хармонијски потенцијал у близини стабилне тачке равнотеже, то је један од најважнијих системских модела у квантној механици. Квантни хармонијски осцилатор је један од ретких квантно-механичких система за који је познато тачно, аналитичко решење.

Једнодимензионални квантни осцилатор

Хамилтонијан и енергија својствених стања

Хамилтонијан слободне честице дат је изразом:

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}k{\hat{x}}^2=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2,$

где је m маса честице, k - константа, а $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$ угаона фреквенција осцилатора , $\hat{x}$ - оператор координате дат са Шаблон:Mvar, $\hat{p}$ - оператор импулса дат са $\hat{p}=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}$

Први члан у Хамилтонијану представља кинетичку енергију честице, а други члан представља његову потенцијалну енергију.

Може се написати временски независна Шредингерова једначина:

$\hat{H}|\psi ⟩=E|\psi ⟩,$

где Е означава својствене вредности енергије, а решење Шаблон:Math означава сопствено енергетско стање. Диференцијална једначина која представља овај својствени проблем може се решити у бази координата, за таласну функцију ⟨x | ψ⟩ = ψ (x), користећи спектралну методу. Испада да постоји породица решења. На основу тога, они представљају Хермитеове функције:

${\psi }_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}\cdot {\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }\right)}^{1/4}\cdot e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hslash }}\cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}x\right),n=0,1,2,\dots .$

Функције H_n представљају Хермитеове полиноме

$H_n(z)=(-1{)}^n{e}^{z^2}\frac{d^n}{d{z}^n}\left(e^{-z^2}\right).$

Огдоварајући нивои енергије су:

$E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})=(2n+1)\frac{\hslash }{2}\omega .$

Овај енергетски спектар је запажен из три разлога. Прво, енергије се квантују, што значи да су могуће само дискретне вредности енергије (цели број-половина умношка ħω); ово је општа карактеристика квантно-механичких система када је честица ограничена. Друго, ти дискретни енергетски нивои су подједнако распоређени, за разлику од Боровог модела атома. Треће, најнижа достижна енергија (енергија n = 0 стања, која се назива основно стање) није једнака минимуму потенцијалне јаме, већ је ħω / 2 изнад ње. Ово се назива енергија нулте тачке. Због енергије нулте тачке, положај и момент осцилатора у основном стању нису фиксни (као што би то било у класичном осцилатору), већ имају мали опсег одступања, у складу са Хајзенберговим принципом неодређености.

Референце

Шаблон:Reflist