Епициклоида

Епициклоида (од Шаблон:Јез-грч -на, над и Шаблон:Јез-грч-круг ) је крива, која се добија када се једна кружница котрља по другој кружници са центром у исходишту и тада произвољна тачка покретне кружнице описује епициклоиду.

Једначина епициклиде

Ако фиксирана кружница има радијус $R$, а покретна кружница радијус $r$ тада се епициклоида може описивати следећим једначинама:

$x(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left(\frac{R+r}{r}\theta \right)$

$y(\theta )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left(\frac{R+r}{r}\theta \right),$

Пошто између радијуса две кружнице постоји омер $k=\frac{R}{r}$ онда се једначине могу написати као:

$x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos ((k+1)\theta )$

$y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin ((k+1)\theta ).$

Ако је $k$ целобројан онда је епициклоида затворена и има $k$ шиљака. У случају да је $k$ рационалан број једнак p/q тада епициклоида има p шиљака. У случају да је $k$ ирационалан број крива се никада не затвара, па се добија бесконачан број шиљака. Епициклиоида са једним шиљком назива се кардиоида.

• Epicycloid Examples
• 
  k = 1
• 
  k = 2
• 
  k = 3
• 
  k = 4
• 
  k = 2.1 = 21/10
• 
  k = 3.8 = 19/5
• 
  k = 5.5 = 11/2
• 
  k = 7.2 = 36/5

Доказ

Претпоставимо да желимо да решимо положај тачке $p$ и да $\alpha$ и $\theta$ одговарајући углови приказани на слици. По претпоставци нема клизања између кружница, па вреди:

${\ell }_R={\ell }_r$ тј.

${\ell }_R=\theta R,{\ell }_r=\alpha r$, па се добија једначина:

$\theta R=\alpha r$ и одатле

$\alpha =\frac{R}{r}\theta$

Са слике добија се позиција:

$x=(R+r)\cos \theta -r\cos (\theta +\alpha )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left(\frac{R+r}{r}\theta \right)$

$y=(R+r)\sin \theta -r\sin (\theta +\alpha )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left(\frac{R+r}{r}\theta \right)$

Литература

• Епициклоида