Дирихлеова функција

Mодификована Дирихлеова функција (Томаова функција): $D(x)=\frac{1}{x},x\in \mathbb{Q}$ и $D(x)=0,x\in ℝ\mathrm{\setminus }\mathbb{Q}.$

Дирихлеова функција добила је назив по немачком математичару Јохану Дирихлеу. Немац Карл Тома ју је модификао у Томаову функцију.

Дефиниција

Дирихлеова функција је функција реалне променљиве $D:ℝ\mapsto \{0,1\}$ дефинисана као:

$D(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q},\\ 0,& x\in ℝ\mathrm{\setminus }\mathbb{Q},\end{array}$

односно функција чији домен чине сви реални бројеви, а кодомен само бројеви 0 и 1. Ова функција је дефинисана тако да за све рационалне бројеве узима вредност 1, а за све ирационалне бројеве узима вредност 0.

Од саме Дирихлеове функције, интересантнија је (поготово графички) њена модификована верзија, која се назива Томаова функција. Овако предефинисана функција $D:ℝ\mapsto ℝ$ гласи:

$D(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x},& x\in \mathbb{Q},\\ 0,& x\in ℝ\mathrm{\setminus }\mathbb{Q}.\end{array}$

Прекидност

Из Кошијевог критеријума конвергенције за функције, може се лако показати да током целог њеног домена постоје бројеви x и y такви да важи |x − y| < δ and |f(x) − f(y)| ≥ ε, односно функција је ненепрекидна, тј. прекидна је у свакој тачки свог домена.

Периодичност

Дирихлеова функција је периодична, али нема основни период.

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.

Види још

• Томаова функција
• Функција
• Прекидност