Генерализована средина

У математици, генерализована средина (или средња моћ или Хелдерова средина од Ота Хелдера) су породица функција за агрегирање скупова бројева. Ово укључује као посебне случајеве Питагорине средине (аритметичке, геометријске и хармонијске средине).

Дефиниција

Ако је р реалан број различит од нуле, и $x_1,\dots ,x_n$ су позитивни реални бројеви, онда је генерализована средина или средња снага са експонентом р ових позитивних реалних бројева:$$M_p(x_1,\dots ,x_n)={\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^p\right)}^{1/p}.$$За Шаблон:Math постављамо га једнаким геометријској средини (која је граница средње вредности са експонентима који се приближавају нули, као што је доказано у наставку):$$M_0(x_1,\dots ,x_n)={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{1/n}.$$Штавише, за низ позитивних тежина Шаблон:Mvar дефинишемо пондерисану средњу снагу као:$$M_p(x_1,\dots ,x_n)={\left(\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}{\sum _{i=1}^n{w}_i}\right)}^{1/p}$$а када је Шаблон:Math, једнака је пондерисаној геометријској средини:$$M_0(x_1,\dots ,x_n)={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}\right)}^{1/\sum _{i=1}^n{w}_i}.$$Непондерисана средства одговарају постављању свих Шаблон:Math.