Боромејски прстенови

У математици, Боромејски прстенови представљају три просте затворене криве у тродимензионалном простору које су тополошки повезане и не могу се одвојити једна од друге, али се распадају на две одвезане и неповезане петље када се било која од три пресече или уклони. Најчешће се ови прстенови цртају као три круга у равни, по узору на Венов дијаграм, наизменично прелазећи један преко другог и један испод другог на тачкама где се укрштају. Друге тројке кривих се сматрају Боромејским прстеновима све док су тополошки еквивалентне кривама приказаним на овом цртежу.

Боромејски прстенови су названи по италијанској породици Боромео, која је користила кружни облик ових прстенова као елемент свог грба, али су дизајни засновани на Боромејским прстеновима коришћени у многим културама, укључујући Нордијце и Јапан. Коришћени су у хришћанској симболици као знак Светог тројства, а у модерној трговини као лого пива Балантајн, што им је донело алтернативни назив Балантајн прстенови. Физички примери Боромејских прстенова направљени су од повезане ДНК или других молекула, а имају своје аналоге у Ефимовљевом стању и боромејским језгрима, од којих оба имају три компоненте међусобно везане, иако ниједан пар није везан.

Геометријски, Боромејски прстенови се могу реализовати повезаним елипсама, или (користећи темена правилног икосаедра) повезаним златним правоугаоницима. Немогуће их је реализовати помоћу кругова у тродимензионалном простору, али се претпоставља да се могу реализовати копијама било које некружне просте затворене криве у простору. У теорији чворова, може се доказати да су Боромејски прстенови повезани бројањем њихових [[Фоксово n-бојење|Фоксових Шаблон:Mvar-бојења]]. Као везе, они су Брунијански, алтернирајући, алгебарски и хиперболички. У аритметичкој топологији, одређене тројке простих бројева имају аналогна својства повезивања као Боромејски прстенови.

Дефиниција и нотација

У математичким публикацијама које дефинишу Боромејске прстенове, уобичајено је да се то чини као дијаграм везе, цртеж кривих у равни са означеним пресецима који показују која крива или део криве пролази изнад или испод на сваком пресеку. Такав цртеж се може трансформисати у систем кривих у тродимензионалном простору уграђивањем равни у простор и деформисањем кривих нацртаних на њој изнад или испод уграђене равни на сваком пресеку, као што је приказано на дијаграму. Уобичајени дијаграм за Боромејске прстенове састоји се од три једнака круга центрирана у теменима једнакостраничног троугла, довољно близу да њихови унутрашњи делови имају заједнички пресек (као у Веновом дијаграму или три круга која се користе за дефинисање Релоовог троугла). Његови пресеци се наизменично смењују изнад и испод када се посматрају узастопним редоследом око сваког круга; други еквивалентан начин да се опише однос изнад-испод између три круга је да сваки круг пролази преко другог круга на оба њихова пресека, а испод трећег круга на оба њихова пресека. Две везе се сматрају еквивалентним ако постоји континуирана деформација простора (амбијентална изотопија) која једну преводи у другу, а Боромејски прстенови се могу односити на било коју везу која је у том смислу еквивалентна стандардном дијаграму за ову везу.

У The Knot Atlas, Боромејски прстенови су означени кодом „L6a4”; нотација означава да је ово веза са шест пресека и алтернирајућим дијаграмом, четврта од пет алтернирајућих веза са 6 пресека које је идентификовао Морвен Тислтвејт у листи свих простих веза са до 13 пресека. У табелама чворова и веза у књизи Дејла Ролфсена из 1976. године Knots and Links, која проширује раније спискове из 1920-их година од Александера и Бригса, Боромејским прстеновима је додељена Александер-Бригс нотација „6Шаблон:Sup sub”, што значи да је ово друга од три везе са 6 пресека и 3 компоненте која је наведена. Конвејова нотација за Боромејске прстенове, „.1”, је скраћени опис стандардног дијаграма везе за ову везу.

Историја и симболика

Назив „Боромејски прстенови” потиче од употребе ових прстенова, у облику три повезана круга, у грбу аристократске породице Боромео у северној Италији. Сама веза је много старија и појављивала се у облику Шаблон:Јез, три повезана једнакостранична троугла са паралелним странама, на нордијском сликовном камењу које датира из 7. века. Храм Омива у Јапану је такође украшен мотивом Боромејских прстенова, у њиховом конвенционалном кружном облику. Камени стуб у храму Марундесварар из 6. века у Индији приказује три једнакостранична троугла ротирана један у односу на други тако да формирају правилан енеаграм; попут Боромејских прстенова, ова три троугла су повезана, али не и у паровима, али овај образац пресецања описује другачију везу од Боромејских прстенова.

Зајфертова површина Боромејских прстенова

Боромејски прстенови су коришћени у различитим контекстима да означе снагу у јединству. Конкретно, неки су користили овај дизајн да симболизују Свето тројство. Француски рукопис из 13. века који приказује Боромејске прстенове означене као јединство у тројству изгубљен је у пожару 1940-их, али је репродукован у књизи из 1843. године Адолфа Наполеона Дидрона. Дидрон и други су спекулисали да је опис Светог тројства као три једнака круга у 33. певању Дантеовог Раја инспирисан сличним сликама, иако Данте не детаљише геометријски распоред ових кругова. Психоаналитичар Жак Лакан је пронашао инспирацију у Боромејским прстеновима као моделу за своју топологију људске субјективности, где сваки прстен представља фундаменталну лакановску компоненту стварности („реално”, „имагинарно” и „симболичко”).

Прстенови су коришћени као лого пива Балантајн, а и даље их користи бренд пива Балантајн, који сада дистрибуира тренутни власник бренда, Pabst Brewing Company. Из тог разлога су понекад називани „Балантајн прстенови”.

Први рад у теорији чворова који је укључивао Боромејске прстенове био је каталог чворова и веза који је 1876. саставио Питер Тејт. У рекреативној математици, Боромејске прстенове је популаризовао Мартин Гарднер, који је представио Зајфертове површине за Боромејске прстенове у својој колумни „Математичке игре” у часопису Scientific American у септембру 1961. Године 2006, Међународна математичка унија је на 25. Међународном конгресу математичара у Мадриду, Шпанија, одлучила да користи нови лого заснован на Боромејским прстеновима.

Делимични и вишеструки прстенови

У средњовековној и ренесансној Европи, бројни визуелни знаци састоје се од три елемента испреплетена на исти начин као што су Боромејски прстенови приказани (у њиховом конвенционалном дводимензионалном приказу), али са појединачним елементима који нису затворене петље. Примери таквих симбола су рогови на камену из Снолделева и полумесеци Дијане од Поатјеа.

Неке везе у теорији чворова садрже вишеструке конфигурације Боромејских прстенова; једна веза са пет петљи овог типа користи се као симбол у дискордијанизму, заснована на приказу у Principia Discordia.

Математичка својства

Повезаност

Дијаграм алгебарске везе за Боромејске прстенове. Вертикална испрекидана црна линија је Конвејова сфера која раздваја дијаграм на 2-петље.

У теорији чворова, Боромејски прстенови су једноставан пример Брунијанске везе, везе која се не може раздвојити, али се распада на одвојене одвезане петље чим се било која од њених компоненти уклони. Постоји бесконачно много Брунијанских веза, и бесконачно много Брунијанских веза са три криве, од којих су Боромејски прстенови најједноставнији.

Постоји више начина да се утврди да су Боромејски прстенови повезани. Један од њих је коришћење [[Фоксово n-бојење|Фоксових Шаблон:Mvar-бојења]], бојења лукова дијаграма везе целим бројевима [[модуларна аритметика|по модулу Шаблон:Mvar]] тако да на сваком пресеку две боје на доњем луку имају исти просек (по модулу Шаблон:Mvar) као боја горњег лука, и да се користе најмање две боје. Број бојења која задовољавају ове услове је инваријанта чвора, независна од дијаграма изабраног за везу. Тривијална веза са три компоненте има $n^3-n$ бојења, добијених из њеног стандардног дијаграма тако што се за сваку компоненту независно бира боја и одбацује $n$ бојења која користе само једну боју. За стандардни дијаграм Боромејских прстенова, с друге стране, исти парови лукова се састају на два доња пресека, што приморава лукове који их прелазе да имају исту боју, из чега следи да једина бојења која задовољавају услове пресека крше услов коришћења више од једне боје. Пошто тривијална веза има много валидних бојења, а Боромејски прстенови немају ниједно, они не могу бити еквивалентни.

Боромејски прстенови су алтернирајућа веза, пошто њихов конвенционални дијаграм везе има пресеке који се смењују између проласка преко и испод сваке криве, узастопно дуж криве. Они су такође алгебарска веза, веза која се може разложити Конвејовим сферама на 2-петље. Они су најједноставнија алтернирајућа алгебарска веза која нема дијаграм који је истовремено и алтернирајући и алгебарски. Из Тејтових хипотеза следи да је број пресека Боромејских прстенова (најмањи број пресека у било ком од њихових дијаграма везе) 6, што је број пресека у њиховом алтернирајућем дијаграму.

Облик прстенова

Један могући 3Д распоред Боромејских прстенова: ако су кружни гледано одозго, онда морају да се криве изван једне равни.

Боромејски прстенови се обично цртају тако да се њихови прстенови пројектују као кругови у равни цртежа, али тродимензионални кружни Боромејски прстенови су немогући објекат: није могуће формирати Боромејске прстенове од кругова у тродимензионалном простору.

Општије, Шаблон:Sfn су доказали користећи четвородимензионалну хиперболичку геометрију да ниједна Брунијанска веза не може бити тачно кружна. За три прстена у њиховом конвенционалном Боромејском распореду, ово се може видети разматрањем дијаграма везе. Ако се претпостави да се два круга додирују у своје две тачке пресека, онда они леже или у равни или на сфери. У оба случаја, трећи круг мора проћи кроз ову раван или сферу четири пута, а да не лежи у њој, што је немогуће. Други аргумент за немогућност кружних реализација, од стране Хелгеа Тверберга, користи инверзивну геометрију да трансформише било која три круга тако да један од њих постане права, што олакшава доказивање да се друга два круга не повезују са њим да би формирали Боромејске прстенове.

Међутим, Боромејски прстенови се могу реализовати помоћу елипси. Оне се могу узети да буду произвољно мале ексцентрицитета: без обзира колико су близу кружном облику, све док нису савршено кружне, могу формирати Боромејске везе ако су правилно позициониране. Реализација Боромејских прстенова помоћу три међусобно нормална златна правоугаоника може се наћи унутар правилног икосаедра повезивањем три супротна пара његових ивица. Свака три одвезана полигона у Еуклидском простору могу се комбиновати, након одговарајуће трансформације скалирања, да би се формирали Боромејски прстенови. Ако су сва три полигона планарна, скалирање није потребно. Посебно, пошто се Боромејски прстенови могу реализовати помоћу три троугла, што је минималан могући број страница за сваку од његових петљи, број штапова Боромејских прстенова је девет. Општије, Метју Кук је поставио хипотезу да се било које три одвезане просте затворене криве у простору, које нису све кругови, могу комбиновати без скалирања да би се формирали Боромејски прстенови. Након што је Џејсон Кантарела предложио могући контрапример, Хју Нелсон Хауардс је ослабио хипотезу да се односи на било које три планарне криве које нису све кругови. С друге стране, иако постоји бесконачно много Брунијанских веза са три компоненте, Боромејски прстенови су једини који се могу формирати од три конвексне криве.

Дужина ужета

Датотека:International Mathematical Union (emblem).jpg

Лого Међународне математичке уније

У теорији чворова, дужина ужета чвора или везе је најкраћа дужина флексибилног ужета (радијуса један) која га може реализовати. Математички, таква реализација се може описати глатком кривом чија тубуларна околина радијуса један избегава самопресецања. Минимална дужина ужета Боромејских прстенова није доказана, али најмања вредност која је постигнута реализована је помоћу три копије планарне криве са 2 режња. Иако подсећа на ранијег кандидата за минималну дужину ужета, конструисаног од четири кружна лука радијуса два, мало је модификована у односу на тај облик и састоји се од 42 глатка дела дефинисана елиптичким интегралима, што је чини краћом за делић процента од реализације састављене од кружних лукова. Управо ова реализација, за коју се претпоставља да минимизује дужину ужета, коришћена је за лого Међународне математичке уније. Њена дужина је $\approx 58.006$, док је најбоља доказана доња граница за дужину $12\pi \approx 37.699$.

За дискретни аналог дужине ужета, најкраћи приказ користећи само ивице целобројне решетке, минимална дужина за Боромејске прстенове је тачно $36$. Ово је дужина приказа који користи три $2\times 4$ целобројна правоугаоника, уписана у Јесенов икосаедар на исти начин као што је приказ златним правоугаоницима уписан у правилан икосаедар.

Хиперболичка геометрија

Комплемент Боромејских прстенова, хиперболичка многострукост формирана од два идеална октаедра, која се понавља у овом приказу. Прстенови су бесконачно удаљени, у теменима октаедра.

Боромејски прстенови су хиперболичка веза: простор који окружује Боромејске прстенове (њихов комплемент везе) допушта комплетну хиперболичку метрику коначне запремине. Иако се хиперболичке везе данас сматрају бројним, Боромејски прстенови су били један од најранијих примера за које је доказано да су хиперболички, 1970-их, а овај комплемент везе био је централни пример у видеу Not Knot, произведеном 1991. године од стране Geometry Center.

Хиперболичке многострукости се могу на канонски начин разложити на лепљења хиперболичких полиедара (Епштајн-Пенерова декомпозиција), а за Боромејски комплемент ова декомпозиција се састоји од два идеална правилна октаедра. Запремина Боромејског комплемента је $16\mathrm{\Lambda }(\pi /4)=8G\approx 7.32772\dots$ где је $\mathrm{\Lambda }$ Функција Лобачевског, а $G$ је Каталанова константа. Комплемент Боромејских прстенова је универзалан, у смислу да је свака затворена 3-многострукост разгранати прекривач над овим простором.

Теорија бројева

У аритметичкој топологији, постоји аналогија између чворова и простих бројева у којој се разматрају везе између простих бројева. Тројка простих бројева Шаблон:Nowrap је повезана по модулу 2 (Редеијев симбол је −1), али су у паровима неповезани по модулу 2 (Лежандрови симболи су сви 1). Стога су ови прости бројеви названи „права Боромејска тројка по модулу 2” или „mod 2 Боромејски прости бројеви”.

Физичке реализације

Шаблон:Multiple image Чвор мајмунска песница је у суштини тродимензионални приказ Боромејских прстенова, иако у већини случајева са три слоја. Вајар Џон Робинсон је направио уметничка дела са три једнакостранична троугла направљена од лима, повезана тако да формирају Боромејске прстенове и подсећају на тродимензионалну верзију валкнута. Уобичајен дизајн за склопиви дрвени троножац састоји се од три комада изрезбарена из једног комада дрвета, при чему се сваки комад састоји од два дела дрвета, ногу и горњих страна троношца, повезаних са два сегмента дрвета који окружују издужену централну рупу у комаду. Други од три комада пролази кроз сваку од ових рупа, повезујући три комада у узорак Боромејских прстенова. За троношце овог облика се каже да потичу из индијских или афричких ручних радова.

У хемији, молекуларни Боромејски прстенови су молекуларни пандани Боромејских прстенова, који су механички испреплетене молекуларне архитектуре. Године 1997, биолог Ченгде Мао и сарадници са Универзитета у Њујорку успели су да конструишу скуп прстенова од ДНК. Године 2003, хемичар Фрејзер Стодарт и сарадници са УКЛА искористили су координациону хемију да конструишу скуп прстенова у једном кораку од 18 компоненти. Структуре Боромејских прстенова коришћене су за описивање кластера племенитих метала заштићених површинским слојем тиолатних лиганада. Библиотеку Боромејских мрежа синтетисали су дизајном Ђузепе Реснати и сарадници путем самосастављања вођеног халогеном везом. Да би се добио молекуларни Боромејски прстен који се састоји од три неједнака циклуса, Џеј С. Сигел и сарадници предложили су синтезу корак по корак.

У физици, квантно-механички аналог Боромејских прстенова назива се стање халоа или Ефимовљево стање, и састоји се од три везане честице које нису везане у паровима. Постојање таквих стања предвидео је физичар Виталиј Ефимов 1970. године, а потврђено је вишеструким експериментима почевши од 2006. године. Овај феномен је уско повезан са Боромејским језгром, стабилним атомским језгром које се састоји од три групе честица које би биле нестабилне у паровима. Други аналог Боромејских прстенова у квантној теорији информација укључује уплитање три кубита у Гринбергер-Хорн-Цајлингерово стање.

Литература

• Шаблон:Cite journal; see in particular Lemma 3.2, p. 89

Спољашње везе

• Неколико мојих омиљених простора: Боромејски прстенови - Roots of Unity - Scientific American, аутор: Евелин Лам (30. 9. 2016)
• Боромејски олимпијски прстенови (Брејди Харан, 2012), Боромејске траке (Тадаши Токиједа, 2016), и Неонски чворови и Боромејски прстенови од пива (Клифорд Стол, 2018), Numberphile
• Шаблон:Cite web