Асимптота

Асимптота је права линија или крива -{A}- којој се друга крива -{B}- (она коју проучавамо) приближава све ближе како идемо дуж ње. Како се крећемо дуж -{B}-, раздаљина између ње и асимптоте -{A}- тежи да постаје све мања и мање. Крива може али не мора да додирне своју асимптоту. У ствари, крива може да пресече асимптоту бесконачан број пута, али њено максимално одступање од асимптоте се смањује.

У графу $f(x)=\frac{1}{x}$, -{x}- и -{y}- осе су асимптоте.

У графу $f(x)=x+\frac{1}{x}$, -{y}- оса -{(x = 0)}- и права -{y = x}- су асимптоте.

Асимптоте и графици функција

Асимптоте се формално дефинишу помоћу лимеса.

Нека је -{f}- функција. Тада је права -{y = a}- хоризонтална асимптота за -{f}- ако

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=a$, или $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=a.$

Интуитивно, ово значи да -{f(x)}- може прићи произвољно близу -{a}- ако -{x}- учинимо довољно великим. Колико велико је довољно велико зависи од тога колико близу желимо да буду -{f(x)}- и -{a}-. Ово значи да ће далеко дуж криве, крива бити врло близу праве.

Уколико је

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=a$, и $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=b$

онда граф функције -{f}- има две хоризонталне асимптоте: -{y = a}- и -{y = b}-. Пример такве функције је аркустангенс.

Права -{x = a}- је вертикална асимптота функције -{f}- ако било који од следећих услова важи:

1. $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$
2. $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$

Интуитивно, ако је -{x = a}- асимптота за -{f}-, онда ако -{x}- прилази -{a}- са једне стране, вредност -{f(x)}- расте без ограничења; тј, -{f(x)}- постаје врло велико (позитивно или негативно), и, у ствари, постаје веће од било које задате вредности.

Специфичан пример асимптота се може наћи код графика функције -{f(x) = 1/x}-, код кога се јављају две асимптоте: хоризонтална: -{y = 0}- и вертикална: -{x = 0}-.

-{f(x)}- може али не мора бити дефинисано у тачки -{a}-: шта се са функцијом дешава тачно у тачки -{x = a}- се не тиче асимптоте. На пример, размотримо функцију

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x}& \text{, }x>0,\\ 5& \text{, }x\le 0\end{array}$

Како $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$, -{f(x)}- има вертикалну асимптоту у 0, иако је $f(0)=5$.

Асимптоте графика функције не морају да буду паралелне -{x}- или -{y}- оси, као што се може видети на графику -{f(x)=x +1/x}-, који има за асимптоте -{y}- осу, и праву -{y = x}-. Када асимптота није паралелна -{x}- или -{y}- оси, онда се она назива коса асимптота. Ако је -{y = mx + b}-, било која не-вертикална права, онда функција -{f(x)}- има асимптоту у њој ако

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)-(mx+b)=0$, или $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)-(mx+b)=0$

График функције може да има вертикалне, хоризонталне и косе асимптоте, као на пример код функције $y=x^{|x|/x}+1/x.$

Крива може да пресече своју асимптоту, чак и бесконачан број пута.

Друга значења

За функцију -{f(x)}- се може рећи да је асимптотска функцији -{g(x)}- када -{x → ∞}-. Ово може да има неко од следећа четири различита значења:

1. -{f(x) − g(x) → 0}-.
2. -{f(x) / g(x) → 1}-.
3. -{f(x) / g(x)}- има лимес различит од нуле.
4. -{f(x) / g(x)}- је ограничено и не тежи нули. Види нотација великог O.

График функције може да има две хоризонталне асимптоте. Пример такве функције је $y=\arctan (x).$

Види још

• Асимптотска анализа
• Асимптотска крива