Контракција (математика)

У математици, контракција, или функција контракције, на метричком простору -{(M, d)}- је функција -{f}- са скупа -{M}- на самог себе, са својством да постоји неки реалан број $0<k<1$, такав да, за свако -{x}- и -{y}- из -{M}-,

$d(f(x),f(y))\le kd(x,y).$

Најмање такво -{k}- се назива Липшицовом константом за -{f}-. Контрактивна пресликавања се називају Липшицовим пресликавањима. Ако је горњи услов задовољен за $0<k\le 1$, онда се каже да је пресликавање неекспанзивно.

Општије, идеја контрактивног пресликавања се може дефинисати за пресликавања између метричких простора. Стога, ако су -{(M, d)}- и -{(N, g)}- два метричка простора, и $f:M\to N$, онда тражимо константу -{k}-, такву да је $g(f(x),f(y))\le kd(x,y)$ за свако -{x}- и -{y}- из -{M}-.

Свака контракција је Липшиц-непрекидна и стога униформно непрекидна.

Контракционо пресликавање има највише једну непокретну тачку. Штавише, Банахова теорема о непокретној тачки тврди да свако контракционо пресликавање на непразном комплетном метричком простору има јединствену непокретну тачку, и да за свако -{x}- из -{M}- итерирани низ -{x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x)))}-, ... конвергира ка тој непокретној тачки. Овај концепт је веома користан за системе итерираних функција где се контракције често користе. Банахова теорема о непокретној тачки се такође примењује у доказивању постојања решења ординарних диференцијалних једначина, као и у једном доказу теореме о инверзу функције.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland. Шаблон:Page
• Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory. Springer-Verlag, New York. Шаблон:Page
• William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London. Шаблон:Page