Функција расподеле

Функција расподеле, функција дистрибуције или кумулативна расподела вероватноће је функција у теорији вероватноће у ознаци -{F_x}- која за сваки реалан број -{x}-, одређује вероватноћу да је случајна променљива -{X}- узела вредност мању од или једнаку -{x}-:

$x\to F_X(x)=\mathrm{P}(X\le x).$

За означавање функције расподеле обично се користи велико латинично слово -{F}-, за разлику од малог латиничног слова -{f}-, које се користи за расподелу вероватноће.

Кумулативна расподела вероватноће се може изразити и преко расподеле вероватноће -{f}- на следећи начин:

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt.$

Вероватноћа да -{X}- лежи на интервалу -{(a, b]}- за -{a < b}- је једнака -{F(b) − F(a)}-.

Својства

Одозго надоле, функција расподеле дискретне случајне променљиве, непрекидне случајне променљиве, и случајне променљиве која има и непрекидне и дискретне делове.

Свака функција расподеле, -{F}- има следеће особине:

• монотоно је неопадајућа
• непрекидна је здесна
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1.$

Дискретне случајне променљиве

Ако је -{X}- дискретна случајна променљива која узима вредности -{x}-₁, -{x}-₂, ... са вероватноћама -{p_i = P(x_i)}-, њена функција расподеле ће имати прекиде у тачкама -{x_i}-, и бити константна између њих:

$F(x)=\mathrm{P}(X\le x)=\sum _{x_i\le x}\mathrm{P}(X=x_i)=\sum _{x_i\le x}p(x_i).$

Континуалне случајне променљиве

Ако је функција расподеле -{F}-, случајне променљиве -{X}-, непрекидна, онда је -{X}- непрекидна случајна променљива; ако је осим тога, -{F}- апсолутно непрекидна, онда постоји Лебег-интеграбилна функција -{f(x)}-, таква да

$F(b)-F(a)=\mathrm{P}(a\le X\le b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

за све реалне бројеве -{a}- и -{b}-. (Прва од горње две једнакости не би била тачна у општем случају ако не би било назначено да је расподела непрекидна. Непрекидност расподеле имплицира да је -{P(X = a) = P(X = b) = 0}-, па разлика између < и ≤ у том контексту нема значаја.) Функција -{f}- је једнака изводу од -{F}- скоро свуда, и назива се расподела вероватноће за случајну променљиву -{X}-.

Види још

• Расподела вероватноће